Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Temperaturzunahme und Exponentialfunktion

Temperaturzunahme und Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, Newtonsche Gesetz

petico aktiv_icon

14:38 Uhr, 21.09.2010

Wir beschäftigen uns im Unterricht mit dem Newtonschen Gesetz der Abkühlung bzw. Erwärmung.
Nach Newton kann auch die Temperaturzunahme mithilfe einer Exponentialfunktion modelliert werden.

Nun habe ich hier eine Skizze, die man interpretieren/beschreiben soll (Ausgangstemperatur, Umgebungstemperatur,...). Leider kann ich nur die Ausgangstemperatur und Umgebungstemperatur ablesen. Mir fehlt demnach noch den Wachstumsfaktor und die Differenz zwischen der Umgebungstemperatur und Temperatur. Weiß leider nicht wie man die berechnen bzw. ablesen kann.

b)

Mit welcher Exponentialfunktion lässt sich die Skizze modellieren? Hinweis:

T (t) = A - B \cdot a^{t}

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

vulpi aktiv_icon

15:24 Uhr, 21.09.2010

Hi !
Ihr habt bestimmt schon den radioktiven Zerfall / Halbwertzeit als
Paradebeispiel für exp-Funktionen besprochen.

Bei den Temperaturkurven ist es im Prinzip das Gleiche, nur dass nicht die
komplette absolute Temperatur "abgebaut" wird, sondern nur der Abstand zur Umgebungstemperatur.

Also im Beispiel
Der Anfangs-Temperatur-Abstand beträgt 20°C (Oder auch

K

bei Differenzen)
Die "Halbwertzeit", also die Dauer, bis der Abstand (zum "Zielwert") nur nuch

10 K

beträgt,
ist ca.

2,5 min,

denn da ist die Temperatur nur noch 10°C bzw.

K

von den 30° entfernt.
Nach nochmaligen

2,5 min

ist auch der neue Abstand wiederum halbiert.(Von 10° auf 5° gemessen von den 30°)

Der "flüchtige" Teil, also der Anteil, der exponentiell zerfällt, läßt sich also mit

20 K \cdot {0,5}^{\frac{t}{2,5 min}}

beschreiben.
Das ist der gegen

0 \cdot Δ_{0}

laufende Abstand zur Asymptote, entsprechend ist

1 - 20 K \cdot {0,5}^{\frac{t}{2,5 min}}

Der gegen

1 \cdot Δ_{0}

laufende Abstand vom Startwert

Die momentant Temperatur ist damit

T (t) ≅

30°

C - 20 K \cdot {0,5}^{\frac{t}{2,5 min}} | t = 0 \Rightarrow

20° weg von 30°

, t \to \infty \Rightarrow 0

° weg von 30°

oder auch

T (t) ≅ 10

C + 20 K \cdot (1 - {0,5}^{\frac{t}{2,5 min}})

Du kannst natürlich jeden anderen Änderungsfaktor aus dem Graphen herauslesen.

Z . B . :

Δ

(ca.

5,5 min) = \frac{1}{4} Δ_{0}

mfg

petico aktiv_icon

16:54 Uhr, 21.09.2010

Tut mir Leid,aber die Herleitung mithilfe der Halbwertszeit ist einbisschen verwirrend bzw. unklar.

vulpi aktiv_icon

17:13 Uhr, 21.09.2010

Hi,
ich hab' halt gadacht, dass eine Analogie zu etwas Bekanntem hilft :-)

Wichtig ist, dass sich die Temperatur-DIFFERENZ zur U-Temperatur exponentiell
ändert, und nicht die Temperatur selber.

In der selben Zeit nimmt also die Differenz um den selben Faktor ab.
Am Anfang beträgt die Differenz, also die Entfernung von den 30° genau 20°
Nach

z . B

1 min

beträgt die Entfernung

75 %

davon, also 15°
Nach einer weiteren

min

ist die Differenz dann

75 %

von

75 %

also

{0,75}^{2} \cdot

20°
usw.
(Wie wärs mit Zinseszins als Analogie :-) )

{0,75}^{\frac{t}{min}}

gibt also den Abstand von 30°

hoffentlich klarer ?

lg

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

794648

794459

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?