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Tipps zu Beweisen
Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe
Tags: Beweis, direkter/ indirekter, Diskrete Mathematik, widerlegen
 
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Könnt ihr mir in einfachen Worten erklären, wie man bestimmte Dinge beweisen kann? Ein Schema zum Grunaufbau wäre hilfreich.. Außerdem wäre es nett, wenn man mir sagen könnte, wie man genau vorgehen muss, welche Schritte nur ''Aufschreib-Schritte''sind und welche Umformungen benötigen(woran erkenne ich, wie ich umformen muss? Und woran ich erkenne, wann ich mit den Beweisverfahren zu Ende bin?..) Welchen Beweis, muss ich wann anwenden? (Es gibt ja den indirekten/direkten Beweis..) Wie ist das wenn ich Surjektivität,Injektivität oder Bijektivität nachweisen soll? Ich bedanke mich schonmal im Vorraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Das kann man Allgemein so nicht beantworten. Es gibt verschiedene Probleme für die es verschiedene Wege gibt - manche sind sehr elegant und einfach, aber extrem schwer zu finden, und andere sind sehr technisch und mühsam, aber man findet sie ohne grosses Nachdenken indem man einfach drauflosrechnet. Aussagen zu Beweisen ist die ganze Kunst und der Spass an der Mathematik; und meist sind die Lösungswege, d.h. die Ansätze für das Beweisen, durch Intuition und die richtige Idee zu finden. Es gibt aber natürlich einige Grundstrukturen die immer wieder auftachen, wie du schon gesagt hast: Direkter Beweis (Umformen des Terms / Definieren der gesuchten Funktion / Einsetzen von Definitionen und zeigen der Eigenschaft), Indirekter Beweis (Annahme des logischen Gegenteils der Aussage, und dann führen auf einen Widerspruch) und die Vollständige Induktion (Eine Aussage soll für alle natürlichen Zahlen gelten, also zeigt man, dass sie für gilt, und zeigt, dass wenn die Aussage für stimmt, sie auch für stimmt). Zum Beispiel der Injektivität/Surjektivität bzw. Bijektivität kann man sagen, dass man meist mit dem direkten Beweis sehr weit kommt. z.B: Zeige Injektivität für f: Beweis: Seien x und y Zahlen für die gilt , dann gilt [Argument argument, rechnerei, Argument]..., also: x=y Manchmal gibt es aber auch schneller und einfachere Wege, weil Injektivität von f äquivalent ist zu einer anderen Aussage - z.B. verschwinden des Kerns, oder die Existenz eines Links-Inversen (also, es gibt eine Funktion g für die gilt: . Damit kann man dann zeigen: . Aber wenn du nach "dem einen Weg" suchst um Dinge zu beweisen, muss ich dich entäuschen. Es gibt, wie gesagt, standardwege um gewisse Dinge zu zeigen, die müssen aber sicherlich nicht immer funktionieren. |
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Also an sich ist "das Beweisen" genau das was du überwiegend im ersten Semester im Mathestudium lernst :-D) Eine sehr interessante Frage ist natürlich wie man Dinge beweist. Aber die Antwort ist genauso wenig verblüffend wie mein erster Satz ;-) Du betrachtest in der Regel etwas wovon du weißt dass es bereits stimmt oder was reichlich offensichtlich ist und folgerst in "kleinen" nachvollziehbaren Schritten eine konsistente (also ohne Lücken) Kette von Schlussfolgerungen die unweigerlich! zu dem führt was du beweisen wolltest. ---Kommentar: Mit Vorfahrtsschild meine ich Vorfahr gewähren. Ist eine Abkürzung Erstmal kommt die Behauptung, . "Ein Straßenschild ist ein Vorfahrtsschild genau dann wenn es ein Dreieck ist". Dann kannst du die Aussage beweisen oder widerlegen. In unseren Fall tuen wir beides, denn in der Aussage "Ein Straßenschild ist ein Vorfahrtsschild genau dann wenn es ein Dreieck ist" stecken 2 Aussagen. 1. Ein Straßenschild dass ein Vorfahrtsschild ist, ist ein Dreieck und 2. Ein Dreieck ist ein Straßenschild dass ein Vorfahrtsschild ist. In der Mathematik und allgemein bei Beweisen MUSS man äußerst präzise mit seinen Formulierungen sein. Es kommt sehr häufig vor dass man nicht präzise genug formuliert oder wie im Fall von meinem Beitrag, sich nicht die Zeit nimmt und jede Aussage nochmal kurz überdenkt und nach Fehlern sucht weil es schon sehr spät ist ;-) Hier kannst du jetzt mittels etwas was du schon kennst diese Aussagen entweder beweisen oder widerlegen. Zuerst sei vorrausgesetzt dass wir hier nur über die geometrische Form von Straßenschildern reden. Beweisen wir die erste Aussage: 1. Ein Straßenschild dass ein Vorfahrtsschild ist, ist ein Dreieck Dazu führen wir die Aussage auf etwas bekanntes zurück. Wir kennen die Definition eines Dreiecks (vereinfachte Version) Definition: Ein Dreieck ist eine geometrische Figur die durch genau drei Punkte mit Geraden verbundene Punkte die nicht alle auf einer Geraden liegen beschrieben. Es hat also die folgenden 3 Eigenschaften Ein Dreieck hat 3 (verschiedene) Eckpunkte Die Punkte werden durch Geraden verbunden Die drei Punkte liegen nicht alle auf einer Geraden Um zu beweisen dass das Schild ein Dreieck ist müssen wir jetzt diese 3 Eigenschaften prüfen es hat drei Eckpunkte: Ja, denn das Vorfahrtsschild hat genau in gleichem Abstand zueinander liegende Ecken die man als Punkte bezeichnen kann. die Ecken werden durch geraden verbunden Ja das stimmt auch so ziehmlich Die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden Ja, denn die Geraden die die Punkte miteinander verbinden schließen einen Winkel von Grad ein. Alle Eigenschaften einen Dreiecks sind für das Schild erfüllt Das Schild ist ein Dreieck Andersherum geht es nicht. Nicht jedes Dreieck ist auch ein Vorfahrtsschild. (Hier kannst du auch einfach ein Gegenbeispiel suchen oder argumentieren) Die Menge aller verschiedenen Dreiecke ist unendlich da man unendlich viele verschiedene Winkelkombinationen darstellen kann. Bisher gibt es noch kein Straßenschild was alle Dreiecke abdeckt und insbesondere deckt (nach meinem wissen :-D)) das Vorfahrtsschild nur eine dieser Winkelkombinationen des Dreiecks ab. Nicht jedes Dreieck ist ein Vorfahrtsschild Wann musst ich umformen? Naja immer dann wenn etwas nötig ist :-D) Nötig wäre es wenn eine (unbekannte) Eigenschaft verwendet wird. . angenommen du weißt nicht dass verwendest diese Eigenschaft aber in deinem Beweis weil sie reichlich offensichtlich ist. Aber da du das nie bewiesen hast kannst du es umformen zu direkter/indirekter Beweis Der direkte Beweis ist das was ich oben beschrieben habe. Der indirekte Beweis (Reductio ad absurdum) schleicht sich normalerweise von hinten ran und erschlägt alle Zweifler ;-) Damit zeigst du sozusagen es nicht sein kann dass die Aussage nicht gilt da sonst ein Widerspruch aufkommt. Dazu nimmst du normalerweise das Gegenteil der Aussage an und suchst anschließend irgendeinen Widerspruch. Dabei musst du manchmal aufpassen was das Gegenteil einer Aussage wirklich ist. Außerdem kannst du einen Beweis per Konstruktion oder ohne Konstruktion führen. Ein Beweis per Konstruktion bedeutet dass du hier schritt für Schritt beweist man immer eine Lösung des Problems findet. Das kann explizit sein oder auch nicht. Ein Beweis ist nicht konstruktiv wenn du einfach nur die Existenz nachweist ohne zu wissen wie man dahin kommt (oder kommen könnte). Daher kommen die Witze zu Mathematikern und rechnen. . VWLer: "Wieviel ist 23*11" BWLer: " " Mathematiker: " Das Problem besitzt eine eindeutige Lösung!" Häufig (besonders beim konstruiere) musst du kleinere Teilaussagen beweisen um die ganze Aussage zu beweisen. Im Studium würdest du dann sowas lernen (oder kennst bereits) wie die vollständige Induktion oder anderes was mir gerade nicht einfällt :-D) Aber es gibt noch tolle andere Sachen. Also wie schon gesagt lernst du das wärend des Studiums ausführlich. Es gibt dazu zwar kaum Erklärungen, aber man findet es heraus ;-) Man kann zu diesem Beitrag wahrscheinlich noch einiges hinzufügen. Aber wenn du tatsächlich mathe studierst oder es vor hast dann wirst du das alles sowieso kennen lernen ;-) Zu injektiv,surjektiv und bijektiv Naja, wie man das beweist kommt immer ganz darauf an. Du kannst dir ja mal einfach ein dutzend Beispiele hier im Forum ansehen. Oder du bittest nochmal einen der freundlichen Leute hier ob sie nicht ein paar Beispiele bauen. Wenn du willst kann ich auch noch eins geben. Alles Gute MoC |
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Danke erstmal für eure ausführlichen Antworten :-). Könnte ihr mir nochmal zeigen, wie ich denn genau bijektiv, surjektiv und injektiv nachweisen kann? Also die mathematischen Voraussetzungen für die jeweiligen Behauptungen? Ich weiß ja, dass bei injektiv, die Zielmenge größer ist als die Ausgangsmenge und kein Wert mehrfach angenommen wird. surjektiv: Hier ist die Ausgangsmenge größer als die Zielmenge und jeder Wert der Zielmenge wird angenommen. bijektiv: Die Mächtigkeit ist gleich und zu jedem Wert wird ein anderes Wert abbgebildet. Aber wie zeige ich denn das jetzt mit oder so? |
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Sagen wir du hast die Funktion gegeben. Dann gehst du aus von also Zeige, dass daraus folgt . (ist ja schnell gezeigt) |
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Was zeige ich denn genau? Das sie injektiv ist? oder surjektiv oder bijektiv? |
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ist doch äquivalent zu ist injektiv. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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