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Totales Differential bestimmen

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Tags: Differentiation, Grenzwert, Sonstig

 
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Isaaabellll

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15:22 Uhr, 20.03.2018

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Hallo liebe Mathefreunde,

was ist die totale Ableitung DF(A,B)(C,D) bzw. DG(Id)(B) wobei F(A,B)=spur(AB) und G(B)=B-1+B

Ich habe versucht die Frechét-Ableitung anzuwenden aber ich komme nicht weiter.

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pwmeyer

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10:12 Uhr, 21.03.2018

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Hallo,

Du musst den Term F(A+C,B+D) nach den Regeln für Matrizenmultiplikation und spur ausrechnen und dann den von C und D unabhängigen Term und dann den in (C,D) linearen Term isolieren. Das liefert Dir die Frechet-Ableitung.

Gruß pwm
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

12:56 Uhr, 21.03.2018

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Vielen Dank.

Hast du auch einen Tipp für das zweite Differential
Isaaabellll

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17:22 Uhr, 21.03.2018

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Also ich habe für DF(A,B)(C,D)=ATBT+AB raus und für DG(Id)(B)=Id-B+Id-B-1
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pwmeyer

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17:27 Uhr, 21.03.2018

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Hallo,

das kann ich nicht nachvollziehen, müssstest Du mal vorrechnen.

Gruß pwm
Isaaabellll

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18:05 Uhr, 21.03.2018

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Ich habe partielle Ableitungen gebildet und die Frechet-Ableitung erstmal weggelassen:

FC:=∑i(ACB)ii=∑i∑jaij(CB)ji=∑i∑jaij∑kcjkbki=∑i∑j∑kaijcjkbki
⇒δFCδcjk=∑iaijbki=(BA)kj=ATBT

FD:=∑i(ABD)ii=...=∑i∑j∑kaijbjkdki
⇒δFDδdjk=AB

_

Bei D(Id)(B):

G(Id+B)-G(B)=(Id+B)-1+Id+B-B-1-B=(Id+B)-1+Id-B-1

Da (A+B)-1=A-1-A-1BA-1 folgt:

(Id+B)-1+Id-B-1=Id-Id⋅B⋅Id+Id-B-1=Id-B+Id-B-1
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

22:17 Uhr, 21.03.2018

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Hallo,

ich sehe den Zusammenhang von FC und FD mit der Aufgabe leider nicht. Meiner Meinung nach ist

DF(A,B)(C,D)=spur(A*D +C⋅B)

Bei der zweiten Aufgabe wäre doch G(I+B)-G(I) zu untersuchen?

Gruß pwm
Isaaabellll

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10:28 Uhr, 22.03.2018

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Kannst du kurz deinen Rechenweg erläutern, wie du auf spur(A⋅D+C⋅B) kommst?
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:58 Uhr, 23.03.2018

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Hallo,

wie gesagt:

F(A+C,B+D)=spur( (A+C)⋅(B+D))= spur( A⋅B+A⋅D+C⋅B+C⋅D)
= spur( A⋅B) +spur( A⋅D+C⋅B)+ spur( C⋅D)


Der zweite Term ist linear in (C,D), der dritte quadratisch.

Gruß pwm
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