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Treppenfunktion/folgen

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Tags: Funktion, Grenzwert, Treppenfunktion

FabianVu aktiv_icon

19:32 Uhr, 14.01.2016

Moin!

Ich hab folgende Aufgabe, die für mich etwas unverständlich formuliert wurde bzw. es ist nicht klar, was gefordert ist.

Also gegeben ist folgende Treppenfunktion, die auf dem Intervall

[0,1]

definiert ist:

Φ_{n} (x) =

0,

falls

0 \leq x < 1 - \frac{1}{n}

n,

falls

1 - \frac{1}{n} \leq x < 1

0,

falls

x = 1

Nun haben wir folgende Aufgabe:

Bestimmen sie für jedes

x \in [0,1]

lim_{n \to \infty} Φ_{n} (x)

Ich habe mir dann mal folgendes überlegt:

lim_{n \to \infty} Φ_{n} (x) =

0,

falls

0 \leq x < 1_{-}

unendlich, falls

1_{-} \leq x < 1

0,

falls

x = 1

D . h

. also, dass die Funktion für

n \to \infty

dann an einer bestimmten Stelle

x

gegen

1,

aber

< 1

bis

x

gegen

1,

aber

< 1,

dann gegen unendlich geht und außerhalb eben gleich 0 ist. Dies ist irgendwie unverständlich

Außerdem habe ich mir dann eine zweite Möglichkeit überlegt und zwar:

lim_{n \to \infty} Φ_{n} (x) = lim_{n \to \infty} \int Φ_{n}' (x) d x

Φ_{n}' (x)

ist dann dementsprechend, wenn man es oben jeweils ableitet gleich:

0,

falls

0 \leq x < 1 - \frac{1}{n}

0,

falls

1 - \frac{1}{n} \leq x < 1

0,

falls

x = 1

Also

Φ_{n}' (x) = 0

in dem gesamten für die Funktion definierten Intervall

[0,1]

\Rightarrow lim_{n \to \infty} \int 0 d x = \int 0 d x,

da es jetzt von

n

unabhängig ist

\Rightarrow \int 0 d x = 0 \forall x \in [0,1]

Hmm aber was ist denn jetzt richtig? Für mich scheinen die sich etwas zu widersprechen.

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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Roman-22

20:00 Uhr, 14.01.2016

Stell dir doch einmal vor, wie

Φ_{n}

konkret aussieht.
Es ist eine Funktion, die Anfangs konstant Null ist und dann an der Stelle

1 - \frac{1}{n}

auf den Wert

n

springt. Je größer

n

wird, desto weiter nach rechts in Richtung zur Eins wird diese Sprungstelle verschoben. Irgendwann wird also jedes

x

(außer

1)

"überholt" und ab da ist für dieses

x

eben

Φ_{n} (x) = 0

.

Formal: Für jedes

x \in [0; 1)

gibt es ein

N \in ℕ^{⋆}

mit der Eigenschaft

\forall n \geq N : x < 1 - \frac{1}{n}

und damit

Φ_{n} (x) = 0 \forall n \geq N

.
Also ist der gesuchte Grenzwert immer Null.
Außen vor blieb

x = 1,

aber hier ist der Funktionswert ja per definitionem Null ,also fügt er sich harmonisch ins Schema ein.

R

EDIT: Zur Verdeutlichung vielleicht die konkrete Folge, die sich für den Wert

x = 0,77

ergibt:

< Φ_{n} (0,77) > = < 1; 2; 3, 4; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; ... ... . >

Für

n = 4

springt

Φ_{4} (x)

bereits bei

x = \frac{3}{4} = 0,75

von Null auf

4,

aber für

n = 5

springt

Φ_{5} (x)

erst bei

x = \frac{4}{5} = 0,8

von 0 auf

5,

also erst "nach" unserem Wert

0,77

.
Es gibt immer einen Index, ab dem die Folge in die konstante Nullfolge übergeht.

Wir müssen ohnedies davon ausgehen, dass die Folge nur für

n \in ℕ^{⋆}

(also für

n \geq 1)

und nicht für

n \in ℕ

definiert ist (der Unterschied liegt in

n = 0)

.

Von deinen Ansätzen ist übrigens keiner richtig, auch wenn der zweite zum richtigen Ergebnis geführt hat. An der Stelle

x = 1 - \frac{1}{n}

ist

Φ_{n} (x)

zB unstetig und daher gar nicht differenzierbar.

FabianVu aktiv_icon

16:55 Uhr, 15.01.2016

Formal: Für jedes x∈

[

0;1) gibt es ein N∈ℕ⋆ mit der Eigenschaft ∀n≥N:x<1−1n und damit Φn(x)=0∀n≥N.
Also ist der gesuchte Grenzwert immer Null.
Außen vor blieb

x = 1,

aber hier ist der Funktionswert ja per definitionem Null ,also fügt er sich harmonisch ins Schema ein.

Eine kurze Frage hättet ich diesbezüglich noch.

Diese Aussage sagt, wenn ich es richtig verstanden habe, so viel wie:

Man wählt ein

n \in ℕ

und weisst aufgrund der Definition dieser Treppenfunktion, dass für alle

x < 1 + \frac{1}{n}

Φ_{n} (x) = 0

ist.

Nun lässt man

n \to \infty

laufen, dann weisst man, dass für alle

x < 1 : Φ_{n} (x) = 0

ist.

Und dann betrachtet man noch den Fall

x = 1

und kann schlussfolgern, dass durch die Defintion

Φ_{n} (x) = 0

ist. Und folglich heißt es

lim_{n \to \infty} Φ_{n} (x) = 0 \forall x \in [0,1]

Roman-22

17:35 Uhr, 15.01.2016

>

Nun lässt man n→∞ laufen, dann weisst man, dass für alle x<1:Φn(x)=0 ist.
Wenn du

n \to \infty

laufen lässt, gibts nicht mehr nur EIN

Φ_{n} (x)

.
Es geht eben um Folgen von Zahlen, wie ich es für

x = 0,77

exemplarisch gezeigt habe, und eben den Grenzwert jeder dieser Folgen für alle

x \in [0,1]

.
Deshalb ist deine Argumentation nicht schlüssig.
Es geht vielmehr darum, ein beliebiges

x \in [0; 1)

her zu nehmen und dafür eben den Grenzwert der Folge

< Φ_{n} (x) >

zu bestimmen. Und da gilt eben, dass diese Folge immer ab einem (von

x

abhängigen Index) konstant 0 ist. Und zwar für alle

n > \frac{1}{1 - x}

x = 1

entzieht sich augenscheinlich dieser Betrachtung und ist dann extra über die Definition zu behandeln.

R

FabianVu aktiv_icon

02:34 Uhr, 16.01.2016

Alles klar, danke dir! Ich versuche mir nochmal deine Aussagen vollständig klar zu machen, um es auch vollständig zu verstehen.

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