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Unbeschränktheit von rekursiven Folgen
Universität / Fachhochschule
Tags: Beschränktheit, Folgen, Grenzwert
 
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Wie lässt sich zeigen, dass eine rekursive Folge nach oben/unten unbeschränkt ist? Vor allem interessieren mich Folgen, die sich nur schwer explizit schreiben lassen (Bspsw. mit , es gibt sicher eine Möglichkeit das explizit zu schreiben, aber die ist wahrscheinlich nicht besonders schön). Mein Ansatz ist, dass man annimmt, die Folge wäre beschränkt, und es einen Wert gibt. Dann zeigt man, dass sich ein finden lasst für das die Bedingung nicht erfüllt ist. Nur wie macht man das ohne die Folge explizit zu schreiben? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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"Nur wie macht man das ohne die Folge explizit zu schreiben?" Meistens per Induktion. Wenn z.B. und , so ist leicht per Induktion zu zeigen, dass . |
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Das habe ich mir auch schon gedacht. In meinem Beispiel oben habe ich jetzt die Folge gewählt. Hier lässt sich ja leicht zeigen, dass die Folge nach unten nicht beschränkt ist. Per Induktion zeigt man dann, dass für alle (bzw. ab einem bestimmten ) gilt: , wodurch auch nicht beschränkt ist. Das ist vllt. etwas kompliziert aber darf im Prinzip so gemacht werden, oder? |
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Ja, das ist OK. |
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Mir fällt gerade auf, dass man damit noch gar nichts beweist. Nur weil bspw. alle Glieder einer Folge immer über den Gliedern einer divergenten sind heißt das nicht, dass auch divergiert. Was wenn zB nach divergiert, jedoch nach 0 konvergiert? |
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Mir fällt gerade auf, dass man damit noch gar nichts beweist. Nur weil bspw. alle Glieder einer Folge immer über den Gliedern einer divergenten sind heißt das nicht, dass auch divergiert. Was wenn zB nach divergiert, jedoch nach 0 konvergiert? |
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Moment mal, jetzt hast Du aber alles vertauscht. Wenn und , dann . Wenn und wiederum , dann . Wenn aber und , dann weiß man natürlich nichts über . |
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Ah ok, ich muss also im Fall meines Beispiels vom Anfangspost zeigen dass nach geht, oder? Aber das kann ich ja direkt daraus schließen, dass nach unten unbeschränkt ist. Sorry, dass ich mich so dumm anstelle, aber ich muss wirklich alles beweisen auch wenn es total offensichtlich ist... |
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