Überprüfung der Axiome bei der Relativtopologie

Hallo,

ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung für Ana 2.
Die Definiton für die Relativtopologie lautet:

Sei (M,O) ein topologischer Raum und N${\displaystyle \subset }$M eine beliebige Teilmenge. Dann induziert O auch eine Topologie auf N und zwar wie folgt: Wir setzen

${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:=\{\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\subset \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \widetilde{\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\widetilde{\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\in \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\}}$

Die hierdurch erhaltene Topologie ${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ auf N nennt man Relativtopologie.

Wenn ich jetzt versuche darauf die Axiome für eine Topologie anzuwenden dann frag ich mich wie ${\displaystyle \mathrm{\varnothing <mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ sein können wo doch nur der Schnitt aus N und ${\displaystyle \widetilde{\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ definitv in ${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$
enthalten sind.

Also ich zweifledie Definition nicht an ich würd nur gern wissen wie ich diese Definition zu lesen/ verstehen hab. Vielleicht könnt ihr mir einen Beweis für die Axiome geben.

Ich danke für eure Mühen

Christin

huhu tinstel!

Im Grunde ist es ganz einfach (= . Wie du schon gesagt hast, liest du es wahrscheinlich einfach nur falsch. Die Relativtopologie lässt sich so lesen. Nimm alle Mengen aus der Ursprungstopologie O und schneide sie mit N, dann packe sie in ne neue Menge On und das ist die Relativtopologie!

zu den Axiomen: 1.) die leere Menge ist in On, denn die leere Menge ist in O und die leere Menge geschnitten mit N ist wieder die leere Menge. On soll ja eine Topologie auf N sein!!!!!!!!!!!! Aber es gilt: M ist in O. Daraus folgt M geschnitten mit N ist in On. Aber M geschnitten mit N ist N, da N eine Teilmenge von M ist. Das erste Axiom ist also erfüllt.

So sorry, dass ich das so blöd geschrieben habe. Muss mir mal aneignen wie ich das so schön wie du schreiben kann =P. Aber ich hoffe mein Geschreibsel hilft dir!

MfG Maistor

Hey Maistor,

wenn ich das richtig verstehe ist O die Potenzmenge von M. So ist in meinem Skript die Topologie definiert (mal abgesehen von den Axiomen). Also befinden sich in O allle Möglichen Mengen eben auch die leere Menge. N ist eine Teilmenge von M. Wenn ich nun N mit O schneide ist die leere Menge doch nur enthalten wenn sie auch in N ist? Gut mit der leeren Menge ist das sone Sache. Vielleicht ist es auch so dass sie immer dazu gehört denn was sich nicht schneidet ist die leere Menge. Kann ich das so ungefähr verstehen?

An welcher Stelle der Definiton kan ich rauslesen dass M und N sich schneiden. So wie ich das verstehe schneidet sich nur eine Teilmenge von On nähmlich "Omega schlange" mit N. Dass darin M enthalten ist steht doch gar nicht fest, oder???

Ansonsten bin ich mit meinen Überlegungen durch deine Antwort aber schon wietergekommen. Danke! Vielleicht fällt dir ja hierzu auch noch was ein.

Gruß Christin