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Überprüfung von Folgen auf Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Grenzwert, Konvergenz

anonymous

22:29 Uhr, 17.11.2009

Hallo,

habe jetzt gerade Folgen und glaube das Allgemeine darüber verstanden zu haben, aber sobald ich eine Folge auf Konvergenz überprüfen muss, weiß ich nicht, wie ich das machen muss.

Wie überprüfe ich Folgen auf Konvergenz und wie bestimme ich anschließend die Grenzwert?

Wär super, wenn mir das jemand an dem Beispiel: an

= \frac{n - 1}{n + 1}

zeigen könnte.

Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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m-at-he

23:17 Uhr, 17.11.2009

Hallo,

es führen immer viele Wege nach Rom, nur wer alle nicht nur kennt, sondern auch beherrscht, wird die Grenzwerte in angemessener Zeit finden. Im konkreten Fall ist der einfachste Weg das Kürzen!

\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n \cdot (1 - \frac{1}{n})}{n \cdot (1 + \frac{1}{n})} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}

bzw.

\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n + 1 - 1 - 1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{2}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1}

anonymous

18:53 Uhr, 18.11.2009

. .

. jetzt weiß ich aber immer noch nicht, wie ich auf Konvergenz überprüfe. Ist es denn konvergent und wenn ja was ist der Grenzwert?

anonymous

21:07 Uhr, 18.11.2009

Wie genau überprüfe ich eine Folge auf Monotonie?? Wäre super, wenn das jemand an dem genannten Beispiel demonstrieren könnte.

m-at-he

21:35 Uhr, 18.11.2009

Hallo,

"Mh

. .

. jetzt weiß ich aber immer noch nicht, wie ich auf Konvergenz überprüfe. Ist es denn konvergent und wenn ja was ist der Grenzwert?"

Schau Dir die umgeformten Folgendefinitionen an! Besonders die zweite:

1 - \frac{2}{n + 1}

Wenn Du jetzt den Grenzwert

g

kennen würdest (vorausgesetzt daß die Folge konvergiert) dann könntest Du auf die Idee kommen, dies mit der Definition nachzuprüfen:

| \frac{n - 1}{n + 1} - g | < ε

\Rightarrow | 1 - \frac{2}{n + 1} - g | < ε

Welcher der zwei Terme 1 und

\frac{2}{n + 1}

hätte denn das Potential, unendlich klein zu werden für große n? Und wie groß sollte

g

sein, damit der andere, störende Term "verschwindet"? Und wenn Du eine Zahl

g

gefunden hast, die die Definition für einen Grenzwert erfüllt, kann dann die Folge divergent sein?

"Wie genau überprüfe ich eine Folge auf Monotonie??"

a_{n + 1} - a_{n}

oder

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

Die entsprechenden Anleitungen dazu habe ich in den letzten beiden Tagen mit einer JuliaM92 hier im Forum durchgekaut, die entsprechenden Beiträge suchst Du bitte selber!

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