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Umformung beim Grenzwert mit Summenzeichen

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Tags: Grenzwert, Summenzeichen, Umformen

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wasssuup

wasssuup aktiv_icon

19:15 Uhr, 08.10.2011

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Hallo,
ich komme leider nicht ganz hinter, welche Art Umformung hier stattfindet. Die ersten 3 Schritte sind mir ersichtlich,
aber wo kommt dieser Bruch mit

\frac{2}{3} - 1

usw. her? Was passiert hier, so dass das Summenzeichen verschwindet?
Vielen Dank für die Hilfe!

Bildschirmfoto 2011-10-08 um 19.09.15

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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f' (x)

f (x)

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Antwort

Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

19:45 Uhr, 08.10.2011

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Hallo,

bei den Summen handelt es sich um geometrische Reihen. Dafür gibt es die Summenformel

a_{0} \cdot \sum_{i = 0}^{n} q^{i} = a_{0} \cdot \frac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}

Man beachte, daß der Index bei dieser Formel bei 0 beginnt. Um diese Formel auf Deine Summen anwenden zu können (dort beginnt der Index bei

1),

muß man die Summen zuerst noch etwas umformen:

\sum_{i = 1}^{n} {(\frac{2}{3})}^{i} = \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{2}{3})}^{i - 1} = \frac{2}{3} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {(\frac{2}{3})}^{i} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{(n - 1) + 1} - 1}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} - 1}{\frac{2}{3} - 1}

Für die zweite Summe macht man das analog.

Viele Grüße
Yokozuna

Frage beantwortet

wasssuup

wasssuup aktiv_icon

21:10 Uhr, 08.10.2011

Antworten

Du hast es ziemlich drauf, danke nochmals!

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