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Umkehr der Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: 11. Klasse, Extremwertaufgaben, fragen, Umgekehrte Kurvendiskussion, Winkel

gab13 aktiv_icon

19:52 Uhr, 16.01.2011

Hallo,

hab in den nächsten Tagen die zweite Matheschularbeit des Jahres - an stofflichem Wissen werden die Kurvendiskussion, Ableitungen, Umkehr der KD und Extremwertaufgaben verlangt. Abgesehen von den Extremwertaufgaben ist mir der Großteil des Stoffes zwar klar, ich hätte aber trotzdem noch ein paar Fragen zu Ersterem, der Umkehr der Kurvendiskussion und Winkelberechnungen (hoffe es ist ok mehrere Gebiete in einem Beitrag zu vereinen).

I Umkehr der Kurvendiskussion:

Das auflösen von Polynomfunktionen unter Vorgabe von verschiedenen Punkten ist ja an sich nicht so schwer, jedoch fehlt mir bei manchen Beispielen die vierte bzw. dritte Bedingung. Ein paar Beispiele:

a)

Der Graf einer Polynomfunktion dritten Grades berührt die x-Achse bei

x = 1

und besitzt den Wendepunkt

(\frac{3}{- 4})

. Wie heißt sie?

1. Bedingung:

f (1) = 0

2. Bedingung:

f' (1) = 0

3. Bedingung:

f (3) = - 4

Was ist die vierte Bedingung, die ich zum Auflösen der Poly. benötige?

b)

Eine Polynomfunktion 3. Grades der Form f(x)=x³+ux²+vx+w hat in

W (\frac{3}{2})

einen Wendepunkt. Die Wendetangente hat den Anstieg

- 3

. Wie heißt die Polynomfunktion?

Hierbei bräuchte ich jetzt nur drei Bedingungen, da ja schon

t = 1

in der Funktion gegeben ist, jedoch finde ich nur 2:

1. Bedingung:

f (3) = 2

2. Bedingung:

f' (3) = - 3

Wie lautet hierbei die dritte Bedingung?

c)

Eine Polynomfunktion 3. Grades der Form f(x)=2x³+ax²+bx+c hat für

x = 2

einen Extremwert und den Wendepunkt

(\frac{1}{4})

. Wie lautet die Funktion?

Jetzt habe ich wieder eine Variable gegeben, brauche daher nur drei Bedingungen. Wieder sind nur 2 für mich offensichtlich.

1. Bedingung:

f' (2) = 0

2. Bedingung:

f (1) = 4

Wie lautet die dritte Bedingung?

Bei diesen drei Beispielen ist immer ein Wendepunkt in der Angabe zu verzeichnen, gibt es eventuell eine allgemeine zweite Bedingung eines jeden Wendepunktes, die ich nicht kenne?

II Winkelberechnung im Feld der Kurvendiskussion

Eine weitere Frage zur Kurvendiskussion ist wie ich Winkel, die zwischen zwei Tangeten oder zwischen der x-Achse und einer Tangente liegen berechnen kann.

Zum Beispiel: Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Tangenten

t 1 : x + y = 0

und

t 2 : 5 x - y = 4

?

Noch ein Beispiel: Welchen Winkel schließt die Tangente

t : y = 10 x - 20

mit der x-Achse ein?

Bräuchte hier eine allgemeine Formel, die ich bei solchen Fragen anwenden kann.

III Extremwertaufgaben

Die einzelnen Schritte zum lösen einer Extremwertaufgabe sind mir zwar klar, jedoch finde ich oft die Nebenbedingung nicht, da die Beispiele sehr vielfältig sind (vorallem sehr viele verschiedene geometrische Formen). Gibt es ein paar allgemeine Tricks, wie man die Nebenbedingungen leichter herausfinden kann?

Hier ein paar Beispiele:

a)

Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse c=8cm hat den größten Umfang? Berechne die Längen von a und

b

.

Die Hauptbedingung sollte "u=a+b+8 ->max" sein oder?
Doch was ist die Nebenbedingung?

b)

Einem Rechteck (a=5cm

b

=3cm) soll ein kleinstmögliches Dreieck so umschrieben werden, dass die Seite a des Rechtecks auf der Basis des Dreiecks liegt. Berechne Basis und Höhe des Dreiecks.

HB: A=c/2*hc

\to max

Kann die NB dann

3 : x = h : (x + \frac{a}{2})

sein? Wobei

x

die Strecke vom Ende des Rechtecks bis zu einer unteren Ecke des gleichschenkligen Dreiecks entspricht.

Habe Unmengen von derartigen Übungsbeispielen, aber leider ist die Nebenbedingung für mich meist nicht erkennbar.

Bin schon gespannt auf Eure Vorschläge, Lösungshilfen und Kommentare
Danke im vorraus
gab13

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alaia

19:57 Uhr, 16.01.2011

zu a) ${f^{'}}^{'} (3) = 0$ (soll 2. Ableitung an der Stelle 3 heißen!)

Alaia

19:59 Uhr, 16.01.2011

Bei b) und c) dasselbe: an der Stelle, wo ein Wendepunkt ist, ist die 2. Ableitung gleich Null!

Alaia

20:07 Uhr, 16.01.2011

Zu II.

Wenn du eine Geradengleichung hast, bring sie auf die Gestalt y = mx + t ,

dann ist der Faktor m vor dem x die Steigung der Geraden und die ist gleich $\tan α$ , wobei alpha der Winkel zwischen Gerade und x-Achse ist!

Wenn du den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden willst, mach dir doch mal eine Zeichnung und zeichne dir bei beiden Geraden jeweils den Schnittwinkel mit der x-Achse ein, dann kommst du sicher drauf, wie du den Winkel zwischen den beuiden Geraden erhältst.

gab13 aktiv_icon

20:07 Uhr, 16.01.2011

Alles klar, danke! Das erklärt schon mal Punkt I. Also jeder Wendepunkt hat ein

k

von 0?!
Werde das mit der Skizze bezüglich dem Schnitt von zwei geraden gleich mal probieren und mich dann rückmelden.
Also allgemeine Formel gibts dafür keine?
Greetz

Alaia

20:09 Uhr, 16.01.2011

hm, was meinst du mit k?!

gab13 aktiv_icon

20:13 Uhr, 16.01.2011

Wir haben gelernt, dass

k

die Abkürzung für die Steigung ist. Also in dem Fall halt dann bei deiner Formel

m

. Wenn ich

m \in tan

hoch

- 1

einsetze komme ich auf einen negativen Wert.

Alaia

20:13 Uhr, 16.01.2011

Noch zu III 1. Bsp (dann muss ich weg) rechtwinkliges Dreieck!!! das schreit nach Pythagoras! Dann kannst du nach a oder b auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen!

Viel Erfolg bei deiner Prüfung!

gab13 aktiv_icon

20:16 Uhr, 16.01.2011

Danke für deine Antworten!
Haben schon mal einige Dinge geklärt.
Schönen Abend noch.
An alle anderen, die evtl mitlesen:
Für weitere Auflösungen oder Tipps insbesondere im Bezug auf das allgemeine Finden von Nebenbedingungen und die Winkelfrage (was machen mit dem negativen Wert, den ich bei der tan-Umkehr erhalte?) bin ich sehr dankbar ;-)
Greetz

Alaia

20:17 Uhr, 16.01.2011

Nö, kein k von Null. Du musst die 2. Ableitung der Polynomfunktion ausrechnen und für x dann die Stelle einstzen, wo der Wendepunkt ist, und das ist dann Null! Jetzt aber leider wirklich Ende für mich!

gab13 aktiv_icon

20:25 Uhr, 17.01.2011

Einige Dinge haben sich heute noch geklärt.
Hätte nur noch Interesse an der Lösung der Aufgabe I

b)

und

c)

Die dritte Bedingung habe ich ja jetzt als

f'' (3) = 2

bzw

f'' (1) = 4

identifiziert.
Jedoch ergeben sich jetzt drei Zeilen mit verschieden vielen Variablen, von denen ich keine sinnvoll rausschmeißen kann.
Danke.
Greetz

vulpi aktiv_icon

18:31 Uhr, 18.01.2011

Hi,
Achtung !

f'' (W_{x}) = 0

und NICHT

f'' (W_{x}) = W_{y}

(falsch!)

lg

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