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Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Beweis, Differentiation, Mittelwertsatz, Ungleichung

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13:12 Uhr, 24.04.2017

Hallo zusammen,

Ich beschäftige mich mit einer Aufgabe, zu der ich - wie ich glaube - eine Lösung habe, allerdings gerne Eure Meinung zu meiner Lösung gerne hören würde:
Die Aufgabe: Ich soll beweisen, dass folgende Ungleichung gilt:

| sin (a) - sin (b) | \leq | a - b |

für alle

a, b

aus

R

Für den Beweis soll ich den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung verwenden. Daher meine Idee:

| sin (a) - sin (b) | \leq | a - b | \Leftrightarrow \frac{| sin (a) - sin (b) |}{| a - b |} \leq 1

Nach dem Mittelwertsatz muss es eine Zahl

x

aus

R

geben aus dem Intervall

[a, b]

für die gilt:

\frac{| sin (a) - sin (b) |}{| a - b |} = cos (x)

Da aber

cos (x) \leq 1

für alle

x

aus

R

(insbesondere aus dem Intervall

[a, b]

gilt, folgt:

\frac{| sin (a) - sin (b) |}{| a - b |} = cos (x) \leq 1,

womit ja eigentlich die Ungleichung bewiesen ist, oder?
Muss ich evtl. noch die Betrag in irgendeiner Weise berücksichtigen?

Viele Dank für Eure Hilfe!
VG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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