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Ungleichungskette & Bernoullische Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Bernoulli Ungleichung, Bernoullische Ungleichung, Beweis, Ungleichungskette

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anonymous

anonymous

12:11 Uhr, 04.12.2020

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Ich brauche Ansätze/Hilfe bei folgender Aufgabe (im Bild).

Ich bin sehr sehr dankbar für jegliche Hilfe. :-)
Der Beweis auf Aufgabe a) sollte bestenfalls über eine Induktion sein.
Ich komme aber nicht auf die Idee, wie ich die Kette beweise.

Dankeschön!

Bildschirmfoto 2020-12-04 um 12.09.07

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:01 Uhr, 04.12.2020

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Z.B hier:
www.mathelounge.de/291673/wachst-fallt-meine-folge-wie-wird-das-bewiesen-an-1-n-n-bn-1-1-n-n

anonymous

anonymous

13:25 Uhr, 04.12.2020

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Was heißt das auf meine Aufgabe übertragen? :-)

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:29 Uhr, 04.12.2020

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Damit wird b) gezeigt.
War das nicht deine Frage?

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:37 Uhr, 04.12.2020

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Wenn du aber die Ungleichungen oben meintest, dann geht es so:

1. Für

n \geq 2

gilt

(1 + 1 / n)^{n} \geq (1 + 1 / n)^{2} \geq (1 + 1 / 2)^{2} = 9 / 4

2.

(1 + 1 / n)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} ((\binom{n}{k})) n^{- k} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \frac{(n - k + 1) . . . (n - 1) n}{n^{k}} \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!}

3.

\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{(k + 1)!} \leq 1 + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{k}}

, weil

2^{k} \leq (k + 1)!

für

k \geq 1

- diese letzte Ungleichung wird dann tatsächlich per Induktion gezeigt

4.

1 + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{k}} < 1 + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1}{1 - 1 / 2} = 3

Frage beantwortet

anonymous

anonymous

16:59 Uhr, 05.12.2020

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Ich habe vergessen zu antworten. :-)
Dankeschön!! Super Hilfe!

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