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Unstetig im Nullpunkt?

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Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Stetigkeit

webster13 aktiv_icon

22:47 Uhr, 28.10.2015

Hallo, man soll zeigen, dass die Funktion unten in (0,0) unstetig ist.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{4} {+ y}^{2}}$

Ich habe mit der Polarkoordinatenmethode lim(r-->0)f(r*cos(phi),r*sin(phi)) folgenden Term erhalten, der meines Erachtens zeigt, das f in (0,0) eigentlich stetig ist:

$\lim_{r \to 0} f (r \times \cos (φ), r \times \sin (φ)) = \frac{r \times {\cos (φ)}^{2} \sin (φ)}{r^{2} \times {\cos (φ)}^{4} {+ \sin (φ)}^{2}}$

Wenn r-->0 geht, geht der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen sin(phi)^2.

Kann ich sagen, dass die Funktion jedoch unstetig ist, bzw. der Grenzwert gegen unendlich geht, wenn phi = 0 oder 2pi ist? Damit gibt es zumindest zwei phi in [0, 2pi], die gegen unendlich gehen und damit ist die Funktion nicht stetig.

Kann man sagen, dass die Funktion stetig in R^2\{0,0} ist, weil Zähler und Nenner stetige Funktionen sind und der Nenner nicht Null werden kann?

VG, Walter

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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ledum aktiv_icon

00:13 Uhr, 29.10.2015

Hallo
mest ist die polarform gut, hier ist es besser du läufst auf einer Parabel mit den Nullfolgen

y_{n} = a \cdot x_{n}^{2}

nach Null oder mit den Folgen

x_{n} = \frac{1}{n}, y_{n} = \frac{a}{n^{2}}

das ist immer ratsam wenn im Nenner verschiedene Exponenten bei

x

und

y

stehen
du bekommst für jedes a einen anderen GW.
Wenn man nur 2 Nullfolgen findet, für die verschiedene GW entstehen ist die fkt nicht stetig.
Gruß ledum

webster13 aktiv_icon

18:52 Uhr, 29.10.2015

Hallo,

vielen Dank für die rasche Rückmeldung. Ich habe noch eine Frage:
Ich habe vergessen, dass die Funktion zusätzlich definiert ist als

f (x, y) = 0

für

x, y = 0

. Reicht es daher nicht aus, deinen Vorschlag

y_{n} = a \cdot x_{n}^{2}

zu betrachten?
Dann wäre

lim (x_{n} - \to 0) f (x_{n}, a \cdot x_{n}^{2}) = \frac{a}{1 + a} =

const. und ungleich

0,

bzw.

f (0,0)

.

Falls das nicht stimmt, kann ich dann sagen, die

f (x, y)

ist unstetig in

(0,0)

weil

f (\frac{1}{n}, \frac{a}{n^{2}}) = \frac{a}{2 n^{4}}

und

lim (n \to

unendlich)f(1/n,a/n^2)

= 0

und ist damit ungleich

f (x_{n}, a \cdot x_{n}^{2})

?

Kann man sagen, dass die Funktion für

x, y

ungleich 0 stetig differenzierbar ist, weil
Zähler und Nenner der partiellen Ableitung und der Funktion selber stetig sind und im jeweils definierten Bereich nicht 0 ergeben können?

Viele Grüße,
Walter

abakus

18:59 Uhr, 29.10.2015

Hallo Walter,
wenn der Zähler gegen Null geht und der Nenner gegen irgendwas, WAS NICHT NULL IST, dann ist die Geschichte eindeutig. Der Bruch würde, egal aus welcher Richtung man kommt, Null.
Der einzige Spielverderber in dieser Geschichte könnte der Fall sein, dass auch der Nenner gegen Null geht und der Grenzwert des Bruches in einem solchen Fall eventuell nicht Null ist.

webster13 aktiv_icon

19:04 Uhr, 29.10.2015

Hallo Gast, auf welche Formel beziehst Du Dich genau?

abakus

19:09 Uhr, 29.10.2015

Auf den gegebenen Funktionsterm selbst und insbesondere auf seine Umsetzung in Polarkoordinaten.
Für Winkel

φ

zwischen 0 Grad und 80 Grad ist die Sache klar - der Nenner wird nicht 0.
Betrachte noch den Fall "0 Grad".

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