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Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

noznikare

18:54 Uhr, 21.11.2016

Untersuchen Sie die folgende rekursiv definierte Folge (xn)n∈N0 auf Konvergenz
und berechnen Sie gegebenenfalls die Grenzwert.

xn+1 = 2/(2+xn)

für

n

∈

N 0

und

x 0 = \frac{1}{2}

Also ich habe verschiedene werte

(x 1, x 2,

usw.) eingesetzt und herausgefunden dass die Folge weder monoton wachsend noch monoton fallend ist. Aber es ist nach oben mit

0.8

und nach unten mit

0.5

begrenzt. Dass heisst

0.5 <

< 0.8

.

Jetzt weiss ich nicht wie soll ich das weiter machen. Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Hilarius

19:27 Uhr, 21.11.2016

Hallo.
Bei deiner Folge

x_{n + 1} = \frac{2}{2 + x_{n}}, n \in ℕ_{0}, x_{0} = \frac{1}{2}

stellt sich in der Tat keine Monotonie ein.

Zum Einen könnte man versuchen, die Folgenglieder explizit (also nicht rekursiv, sondern wie gewohnt in der Form

a_{n} = \dots

) anzugeben.
In der Form lassen sich Folgen ja wesentlich "einfacher" auf Konvergenz untersuchen.
Da sehe ich aber gerade keine Möglichkeit, vermutlich Brett vor dem Kopf.

Zum Anderen würde meines Wissens das Cauchy-Kriterium (falls schon bekannt / gelernt) helfen - was Besseres fällt mir im Moment nicht ein:

"Eine Folge

a_{n}

konvergiert

\Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists n_{0} \in ℕ, s o d a s s \forall n, m \geq n_{0} g i l t : ∣ a_{n} - a_{m} ∣ < ε

."

Das ist oft nicht sehr anwenderfreundlich zu zeigen, aber würde zumindest die Konvergenz bestätigen.

Gruß

noznikare

14:27 Uhr, 23.11.2016

Ich habe Grenzwert von

x (n + 1)

ausgerechnet. Also lim(xn+1)=√3-1. Dann habe ich festgestellt dass die geradem Folgenglieder sind monoton steigend und ungeraden monoton fallend. aAlso Teilfolgen , x(2n)=2/(2+x(2n-1))und

x (2 n + 1) = \frac{2}{2 + x (2 n)}

. Jetzt weiss ich aber nicht wie soll ich beschraenkheit und monotonie der beiden Teilfolgen beweisen und auch dass sie gleichen Grenzwert haben.

Hilarius

11:21 Uhr, 24.11.2016

Hallo.
Du kannst beispielsweise versuchen, deine Behauptung (für gerade Folgenglieder monoton steigend, für ungerade Folgenglieder monoton fallend) per vollständiger Induktion nach n zu beweisen.

Alternativ hätt ich folgenden Ansatz für dich:

x_{0} = \frac{1}{2}, x_{1} = \frac{4}{5}

x_{n + 2} <^{?} x_{n} \Leftrightarrow x_{n + 2} = \frac{2}{2 + (x_{n + 1})} =

\frac{2}{2 + \frac{2}{2 + (x_{n})}} = \frac{4 + 2 x_{n}}{6 + 2 x_{n}} < x_{n} \Leftrightarrow

x_{n}^{2} + 2 x_{n} - 2 > 0

(ist ja Parabel, nach Überlegung nach oben offen und daher ab der rechten (größeren) Nullstelle jedenfalls größer Null ; die linke kommt nicht in Frage, da

\forall x_{n} : x_{n} > 0

sofern

x_{0} \geq 0

)

\Leftrightarrow

x_{n} > \sqrt{3} - 1

Da nun

x_{0}

= \frac{1}{2} < \sqrt{3} - 1 < x_{1}

= \frac{4}{5}

ist, und

x_{0}

(gerades Folgenglied) sowie

x_{1}

(ungerades Folgenglied), folgt:
Wenn du Folgenglieder mit ungeradem Index betrachtest, sind diese monoton fallend.
Wenn du Folgenglieder mit geradem Index betrachtest, sind diese monoton steigend.

Für die

u n g e r a d e n

Folgenglieder würde dann sofort die Beschränktheit folgen - da die Folge

x_{n + 1}

offensichtlich stets größer als 0 ist (bei Nichtnegativem

x_{0}

), und wenn sie monoton fällt kannst du dir als obere Schranke einfach das erste ungerade Folgenglied wählen.

Für die

g e r a d e n

Folgenglieder wäre es etwas komplizierter, die sind ja deiner Überlegung nach monoton steigend, offensichtlich nach unten durch 0 beschränkt, und nach oben müssten wir jetzt "günstig" raten - wenn du nicht schon den Grenzwert "ausgeforscht" hättest, denn gegen den soll ja auch diese Teilfolge konvergieren, daher stellt er bei monotoner Steigung eine Obere Schranke dar.

Also in dem Fall wäre dann noch (für

l i m_{n \to \infty} x_{n + 1} = x

)

x_{n + 1} \leq x; \forall n \in ℕ

zu zeigen (oder alternativ müsste irgendeine andere Zahl a > x).

Wenn das alles erledigt ist, gilt nach dem Monotoniekriterium, dass die Folge tatsächlich konvergiert, dann kannste auch den Grenzwert eritteln.

Noch kurz dazu: vielleicht verrechne ich mich, aber

w e n n

x_{n}

konvergiert, so konvergieren

x_{n + 1}

und

x_{n}

gegen den selben Grenzwert x.
Also

lim_{n \to \infty} x_{n + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{2}{2 + x_{n}}

\Rightarrow x = \frac{2}{2 + x} \to x^{2} + 2 x - 2 = 0

\Rightarrow x = \sqrt{3} - 1

, die zweite Lösung kommt ja nicht in Frage, da kleiner als 0.

Gruß

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