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Vektoren im Kreis

Schüler

Tags: Kreis, Vektor

mariposa05 aktiv_icon

13:14 Uhr, 08.12.2011

Hallo! Ich hab bei diesem Beispiel leider gar keine Ahnung wie das funktioniert. Könnt ihr mir bitte helfen? Hab leider nicht mal Lösungsansätze.

Gegeben sind die Punkte

A (\frac{2}{1})

und

B (\frac{10}{- 3})

a .)

Bestimmen sie die Gleichung eines Kreises der durch die Punkte A und

B

geht und deren Mittelpunkt auf der geraden

g : X = (\frac{6}{5}) + t \cdot (- \frac{1}{1})

liegt.

Wäre euch echt dankbar! Danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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funke_61 aktiv_icon

13:28 Uhr, 08.12.2011

Du kennst doch die Allgemeine Kreisgleichung,

z . B

{(x - m_{x})}^{2} + {(y - m_{y})}^{2} = r^{2}

darin sind

x

und

y

allgemeine Punkte des Kreises und

m_{x}

und

m_{y}

die Koordinaten des Kreismittelpunktes

M (m_{x} | m_{y})

.
soweit klar?

Die Geradengleichung, auf der der Kreismittelpunkt liegt, soll diese hier sein:

\vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

oder?

mariposa05 aktiv_icon

13:45 Uhr, 08.12.2011

Ok danke für deine Antwort!

Also setz ich zb den Punkt

(\frac{2}{1})

in die eine Formel ein?

Aber wie komme ich auf den Mittelpunkt!

Ja genau der MIttelpunkt soll auf dieser Geraden liegen!

funke_61 aktiv_icon

13:54 Uhr, 08.12.2011

ja,

M (8 | 3)

stimmt.
Aus dem Gleichungssystem musst Du noch den Radius bestimmen.
am besten setzt Du das Ergebnis, das Du für

t

bekommen hast in beide Gleichungen ein.
zur Kontrolle:

r = \pm \sqrt{40}

M (x_{m} | y_{m})

und

r

setzt Du dann in die allgemeine Kreisgleichung ein, dann hast Du gewonnen.
;-)

mariposa05 aktiv_icon

13:57 Uhr, 08.12.2011

Tut mir leid war gerade verwirrt und hab

M (\frac{8}{3})

von der Lösung abgeschrieben. Kannst du mir vielleicht noch sagen wie ich auf den Mittelpunkt komme? Das ist mir noch nicht ganz klar.

funke_61 aktiv_icon

14:03 Uhr, 08.12.2011

oh,
Du hast Deine Antwort inzwischen geändert.
den Kreismittelpunkt

M

kann man allgemein mit der Geradengleichung aufstellen:

\vec{m} = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 - t \\ 5 + t \end{matrix})

Also hat der Mittelpunkt die Koordinaten

M (m_{x} | m_{y}) = M (6 - t | 5 + t)

also ist

m_{x} = 6 - t

m_{y} = 5 + t

diese Ausdrücke musst Du auch in die Kreisgleichung einsetzen.
Da Du zwei Punkte hast, kannst Du das zweimal machen.
Damit hast Du zwei Gleichungen mit den Unbekannten

t

und

r

und das sollte lösbar sein.

mariposa05 aktiv_icon

14:25 Uhr, 08.12.2011

So jetzt hab ich noch eine dumme Frage. Tut mir leid beim Thema Vektoren geht wirklich irgendwie gar nichts in meinem Kopf, obwohl ich normal relativ gut in Mathe bin.

Also ich mach das jetzt so:

(2-(6-t))²+(y-(5-t))² = r²

Und du sagtest, dass ich das zweimal machen kann weil ich zwei Punkte habe.
ALso dann das gleiche nochmal mit zb

v

statt

t

und dem anderen Punkt? Aber dann hab ich ja praktisch drei Variable weil r² ja auch noch da ist.

funke_61 aktiv_icon

14:32 Uhr, 08.12.2011

Die y-Koordinate des ersten Punktes

A (2 | 1)

musst Du auch noch einsetzen:

{(2 - (6 - t))}^{2} + {(1 - (5 + t))}^{2} = r^{2}

Für die zweite Gleichung ersetzt Du einfach die Koordinaten des Punktes

A (2 | 1)

durch die von

B (10 | - 3)

denn der Mittelpunkt des Kreises ändert sich ja nicht, wenn Du die Koordinaten des zweiten Kreispunktes einsetzt.
;-)

mariposa05 aktiv_icon

14:43 Uhr, 08.12.2011

Oh die Y-Koordinate hab ich vergessen zu schreiben ;-) . So aber schön langsam fühle ich mich wirklich dumm! Also ich hab jetzt das gemacht:

(2-(6-t))²+(y-(5-t))²=r²

( -4+t)²+( -4+t)²=r²

16-8t+t²+16-8t+t²=r²

0-16t+2t²=r²

Dann mit

B :

(10-(6-t))²+(-3-(5-t))²=r²

( 4+t)²

+

(-8+t)²=r²

16 + 8 t +

t²

+ 72

-16t+t²=r²

88-8t+2t²=r²

Also 1. glaube ich dass ich da irgendwo einen blöden Fehler habe und 2. weiß ich jetzt schon wieder nicht weiter

: (

oh mann ich fühle mich gerade echt dumm.

aber herzlichen dank für die Hilfe!

funke_61 aktiv_icon

14:55 Uhr, 08.12.2011

Dir fehlt nur die Übung.
Die Gleichung aus Punkt A ergibt:

{(- 4 + t)}^{2} + {(- 4 - t)}^{2} = r^{2}

Die Gleichung aus Punkt

B

ergibt:

{(4 + t)}^{2} + {(- 8 - t)}^{2} = r^{2}

Jetzt solltest Du erkennen, dass Du beide Gleichungen gleichsetzen kannst, dann fällt

r^{2}

weg und Du kannst nach

t

auflösen.
Probiers mal
;-)

mariposa05 aktiv_icon

15:11 Uhr, 08.12.2011

So danke! Mittlerweile verstehe ich was du meinst! Allerdings kommt bei mir für

t = - 11

raus. Und wenn ich

t

dann in die Geradengleichung einsetze kommt leider auch nicht das richtige raus.

: (

(-4+t)²+(-4-t)²=(4+t)²+(-8-t)²

0-16t+2t²=88-8t+2t²

/ \frac{- 88}{-}

2t²

- 88 - 16 t = - 8 \frac{t}{+} 16 t

- 88 = 8 \frac{t}{:} 8

t = - 11

funke_61 aktiv_icon

15:16 Uhr, 08.12.2011

da gibts einen Trick:

{(- 4 - t)}^{2}

ist das selbe wie

{(4 + t)}^{2}

das solltest Du Dir mal genau ansehen!
Dann fallen diese beiden Klammern nach dem Gleichsetzen nämlich einfach weg!
es bleibt:

t^{2} - 8 t + 16 = t^{2} + 16 t + 64

Dann kann man das

t^{2}

auf beiden Seiten abziehen.
Ergebnis ist dann

t = - 2

mariposa05 aktiv_icon

15:21 Uhr, 08.12.2011

Oh danke!

Und

t

setze ich dann in die Geradengleichung ein, oder?

Also

(\frac{2}{5}) + - 2 \cdot (- \frac{1}{2})

Da kommt dann:

(\frac{4}{1})

raus. Und dann?

funke_61 aktiv_icon

08:46 Uhr, 09.12.2011

Oben hattest Du die Gerade

\vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

Ich hatte in einem meiner Beiträge diese Gleichung schon in

\vec{m} = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

umbenannt, da ja der Kreismittelpunkt

M

auf dieser Greraden liegen soll.

Deshalb setz doch bitte

t = - 2

in diese Geradengleichung ein. Dann ergibt sich auch auch der richtige Ortsvektor des Kreismittelpunktes

\vec{m} = (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

bzw.

M (8 | 3)

Warum? Du hast ja den Paramter

t

aus den beiden Gleichungen bestimmt , die aus den Punkten A und

B

(und der Gerade, auf der der Mittelpunkt liegt) folgen.

Und wie kommst Du noch auf den Radius

r

mariposa05 aktiv_icon

11:49 Uhr, 09.12.2011

Tut mir leid hab gestern die Gleichung schon wieder falsch abgeschrieben. War irgendwie nicht ganz da!

Danke für deine Hilfe ich habs mittlerweile :-) Buh schwere Geburt ;-)

Danke!!

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