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Vektorielles Kurvenintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Kreis, Kurvenintegral

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16:05 Uhr, 14.01.2012

Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen

f : R^{2} \to R^{2}

mit

f (x, y) = (x^{2} - y^{2}, x - y)

und die Menge

M = {(x, y)^{T} \in R^{2}; x^{2} + y^{2} \leq 1}

Weiter sei

γ = \partial M

der positiv orientierte Rand von M.
Berechne das Kurvenintegral

\int_{γ} f

a) direkt mit der Definition des Kurvenintegrals
b) mit Hilfe des Satzes von Green

Ich habe bisher:

γ (t) = (\begin{array}{rcl} c o s (t) \\ s i n (t) \end{array}) t \in [0, 2 π]

als Rand der obigen Menge. Und dann das Integral:

\int_{γ} f = \int_{0}^{2 π} (c o s^{2} t - s i n^{2} t, c o s t - s i n t) \cdot (\begin{array}{rcl} - s i n (t) \\ c o s (t) \end{array}) d t

= \int_{0}^{2 π} s i n^{3} t - c o s^{2} t \cdot s i n t + c o s^{2} t - s i n t \cdot c o s t d t

Ich habe weiter durch Ausklammern usw. versucht sowas wie

s i n^{2} t + c o s^{2} t

zu erhalten, aber ohne erfolg. Die Aufgabe gibt zu wenig Punkte, als dass man hier das Integral auseinanderzieht und jedes Teilintegral partiell oder sonstwie integriert.
Stimmt das was ich bisher gemacht habe überhaupt? Wenn ja, gibt es hier einen Trick beim integrieren?

Gruß
complacer

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