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Vektorraum - Körper - Matrizen

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Körper

Tags: Beweis, Körper, matriz, Vektorraum

 
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maximal99

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11:19 Uhr, 31.12.2014

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Guten Tag!
Folgende zwei Aufgaben:

1. Sei M(K) die Menge nxm Matrizen über einem Körper K. Zeigen Sie: M(K) ist mit der Matrizenaddition und der Multiplikation mit Skalaren α∈K ein K -Vektorraum.

2. Es sei H:={(zw-w¯z¯):z,w∈ℂ}.
a) Zeigen Sie: Mit der üblichen Matrizenaddition und der Multiplikation von Matrizen mit reellen Zahlen wird H zu einem ℝ -Vektorraum. (Sie dürfen die Aussage aus Aufgabe 1 benutzen)
b) Ist H ein Körper mit der üblichen Matrizenaddition und -multiplikation? (Beweis/Gegenbeispiel)


Folgende Überlegungen:

1. Hier sollte man die Vektorraumaxiome ganz einfach aufschreiben und nachweisen können, oder?
Beispielsweise ist die Nullmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix besteht aus den jeweiligen inversen Vektoren.

2. Die Aussage aus Aufgabe ist, dass die Menge der nxm- Matrizen über einem Körper K ein Vektorraum ist. Heißt das, dass ich an dieser Stelle lediglich überprüfen muss, ob H ein Untervektorraum ist? Also untersuchen auf Nullelement, Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Multiplikation, korrekt?
Zur b) Die ersten 4 Körperaxiome sind untersucht, da es ein (Unter-)Vektorraum ist und es bleibt lediglich das Distributivgesetz, was untersucht werden muss, wäre meine Vermutung.

Danke für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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pwmeyer

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12:15 Uhr, 31.12.2014

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Hallo,

scheint mir richtig, was Du schreibst ("inverse" Matrix bei der Addition heißt: Multiplikation mit (-1)?)

Bei Teil b) hast Du nicht erwähnt, dass die Matrizenmultipliktion eine Verknüpfung auf H ist, d.h. A,B∈H⇒A⋅B∈H? Das Distributivgesetz gilt doch allgemein für Matrizen-Multiplikation. Wie steht es mit A-1∈H?

Gruß pwm
maximal99

maximal99 aktiv_icon

13:14 Uhr, 31.12.2014

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Genau, A+(-1)⋅A=0 (Nullmatrix) mit A∈M.
Die 1 und 2a) sollten dann so klappen?
Bei der b bin ich etwas verwirrt. Ich soll beweisen/widerlegen, ob (H,+,⋅) ein Körper ist. Der Unterschied ist nun, dass ich die Matrizen nicht mehr mit einem Sklar multipliziere, sondern Matrix ⋅ Matrix? Weiß grade nicht so recht, was schon gegeben ist, dadurch dass es ein Vektorraum ist und was novh untersucht werden muss.
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anonymous

anonymous

14:26 Uhr, 31.12.2014

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Hey,

wenn H ein Vektorraum ist, kannst Du Dir sparen, (H,+) auf die Gruppenaxiome zu überprüfen, sprich Du sparst Dir das erste Körperaxiom. Du hast richtigerweise erkannt, dass Du hier nicht mehr mit Skalaren multiplizierst, sondern mit Matrizen. Rechne da einfach die restlichen zwei Körperaxiome nach.

Grüße
maximal99

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12:26 Uhr, 02.01.2015

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Diese Körperaxiome lassen sich mit den Rechenregeln der komplexen Zahlen beweisen, oder? Dann sollte nämlich alles klar sein.
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anonymous

anonymous

16:00 Uhr, 02.01.2015

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Hey,

ich würde mich nicht so weit aus dem Fenster lehnen und es als "klar" bezeichnen, liegt vermutlich daran, dass ich selbst dieses Semester noch lineare Algebra höre :-)

Ich würde aber einfach mal "zu Fuß" rechnen, also jede komplexe Zahl aufdrüseln in Real- und Imaginärteil und dann eben nachrechnen.

Ich hab das hier auch mal angefangen, aber das sah mir dann recht schnell nach recht viel Fleißarbeit aus :-)
Muss man wohl durch? Oder es gibt einen schnelleren Weg...

Beste Grüße
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