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Vektorraum mit 42 Elemente unmöglich.Warum?
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Tags: Eigenwert, Funktion, Grenzwert, Integration, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Vektorraum
 
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guten Abend. auf meinem übungsblatt gibt es eine aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich sie bearbeiten soll.... sie lautet "Konstruieren Sie einen Vektorraum mit Elementen uber dem ¨ ¨orper der reellen Zahlen oder zeigen Sie, dass dies unmöglich ist." Ich habe mir dabei folgendes überlegt: Die Einelementige Menge mit der Null ist ein Vektorraum. Das heißt, dass es schonmal einen vektorraum gibt mit einem Element. Nämlich die Null. Aber ein Vektorraum mit Elemente?? Ich denke nicht, dass es das gibt. Aber formal beweisen kann ich das auch nicht... meine Idee ist aber: Wenn es ein Vektorraum wäre, dann hätte es schon mal den Nullvektor. Okay. Das heißt, dass sich außer der null noch verschiedene Elemente befinden, von denen jedes davon eine Inverse besitzt.... Das heißt es gibt Inverse Elemente, also ? Was nicht sein kann... hat jemand eine Idee wie man diese behauptung beweisen bzw. widerlegen könnte ? ich weiß echt nicht weiter Ich bedanke mich schon im Voraus Tim |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Einführung Funktionen Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Ableiten mit der h-Methode Einführung Funktionen Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle |
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Ist wirklich ein Vektorraum über den Körper gemeint? Denn diese Vektorräume sind alle unendlich, mit Ausnahme vom Nullraum. Denn wenn ein Element von Vektorraum ist, so sind es alle (für beliebige aus ) auch, und für unterschiedliche sind auch Elemente unterschiedlich, damit hat man unendlich viele Vektoren. |
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Erst mal danke für deine Antwort. Ja, es ist der Körper der reellen Zahlen gemeint. Dann müsste ich formal beweisen, dass wenn es mehr Elemente als der Nullvektor sind, dass die Menge unendlich viele Elemente haben muss. Und dazu müssen alle Elemente verschieden sein... Aber ich habe keinen Satz:/ |
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Erst mal danke für deine Antwort. Ja, es ist der Körper der reellen Zahlen gemeint. Dann müsste ich formal beweisen, dass wenn es mehr Elemente als der Nullvektor sind, dass die Menge unendlich viele Elemente haben muss. Und dazu müssen alle Elemente verschieden sein... Aber ich habe keinen Satz:/ |
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=> sind verschieden für alle natürlichen . Beweis. Indirekt. Annhame: für . Dann nach der Axiom S2 gilt . Nach "Erste Eigenschaften" aus de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum gilt dann oder . Beides ist aber nicht möglich. Widerspruch. PS. Diese "erste Eigenschaft" folgt aus der Axiom S3, denn wenn mit , so folgt . |
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Ah okay, danke! Damit ist ja dann gezeigt, dass die Elemente alle verschieden sein müssen, oder ? Wenn ich mir das so überlege, dass lässt sich jeder Vektor aus dem VR durch darstellen, oder ? Oder ist nur eine Teilmenge eines VR mit unendlich vielen Elementen ? Weil ich habe noch diese Linearkombination im Kopf, mit der sich jedes aus dem VR konstruieren lässt. Aber da ja nur ein Skalar ist, lässt sich nicht jeder aus dem VR konstruieren... Also zumindest im nicht... denn . durch lässt sich nicht jeden Vektor aus dem basteln... Oder bringe ich da komplett was durcheinander? |
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"Oder bringe ich da komplett was durcheinander?" Ja. Ich habe mit minimalem Aufwand gezeigt, dass alle Vektorräume außer dem Nullraum unendlich viele Vektoren enthalten. Dazu reicht es, dass ein einziger Vektor existiert. Damit ist nicht gesagt, dass alle Vektoren die Gestalt haben mit einem einzigen . Das ist nur in einem eindimensionalen Raum der Fall. Wenn man mehr Dimensionen hat, dann besteht eine Basis aus mehr als einem Vektor und dann kann man den kompletten Raum nur mittels linearen Kombinationen abdecken, reicht nicht mehr aus. |
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