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Vektorraum nachweisen
Universität / Fachhochschule
Polynome
Vektorräume
Tags: basis, polynom, Polynomfunktion, Vektorraum
 
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Zeige: ∈ deg(p)≤3 ist ein Vektorraum. Geben Sie anschließend eine Basis an. Ich habe das jetzt so verstanden: ist die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten - deg(p) entspricht dem Grad des Polynoms, . deg(p)=höchste Exponent dieser ist hier immer gleich oder kleiner 3. Und jetzt muss ich zeigen, dass ∈ deg(p)≤3 ein Vektorraum ist. Dies kann ich machen, indem ich zeige dass es ein Untervektorraum ist (da Untervektorraum = Vektorraum). Also muss ich zeigen: ∈ deg(p)≤3 ≠ LEERE MENGE ∈ deg(p)≤3 ist gegenüber der Addition abgeschlossen ∈ deg(p)≤3 ist gegenüber der skalaren Multiplikation abgeschlossen Allgemein besteht ein Vektorraum ja aus einer Menge (deren Elemente sind die Vektoren) und einem Körper (dessen Elemente sind die Skalare). Außerdem gilt die Addition innerhalb von und die Multiplikation (verknüpft Skalare mit Vektoren). Jetzt habe ich versucht, das ganze auf meine Aufgabe zu übertragen: Die Menge ist in dieser Aufgabe also die Menge der Polynome . die Polynome sind die Vektoren). Den Körper bildet in dieser Aufgabe und die Skalare sind die Koeffizienten. Kann man das so sagen? Und wenn ja, wie zeige ich dann und ? Habe das noch nie mit Polynomen gemacht. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Logarithmusgesetze - Einführung Polynomdivision |
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Hallo, besagt ja nur, dass es überhaupt ein Polynom vom Höchstgrad 3 gibt - das ist ja klar, welches könnte man . angeben? Zu Nimm 2 Polynome vom Höchstgrad und und bilde . Ist das ein Polynom vom Höchstgrad 3? Gruß pwm |
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Hey, erstmal danke für die schnelle Antwort :-) Zu kann ich einfach sagen: p(x)=aX^0+bX^1+cX^2+dX^3=a+bX+cX²+dX³ ∈ p∈R[x]...} , also {p∈R[x]...} ungleich Leere Menge ? Zu p1(x)+p2(x)=a+a'+(b+b')X+(c+c')X²+(d+d')X³ wieder ein Polynom 3ten Grades, also wieder ∈ p∈R[x]...}. Und dann analog: z*(a+bX+cX²+dX³) = za+zbX+zcX²+zdX³ wieder ein Polynom 3ten Grades, also wieder ∈ p∈R[x]...}. Passt das jetzt? |
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Ja, noch 2 Anmerkungen: könnte man konkreter beantworten und einfach sagen: liegt in U. Genau genommen sollte man von Polynomen vom Höchstgrad 3 reden; denn auch gehört zu dieser Menge. Gruß pwm |
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Hätte ich dann jetzt das Beispiel theoretisch auch mit Polynomen zweiten Grades machen können, oder ist es schon sinnvoll gleich mit dem Höchstgrad zu rechnen? Und zur Basis: Stimmt es, dass . eine Basis bildet, oder lieg ich da total daneben? Edit: Habe mich gerade noch etwas über "Basis" informiert, und merke grad, dass wohl eher keine Basis ist ;-) Wie kann ich hier denn eine finden, wäre denn: möglich? Zu der Aufgaben gibt es noch Zusatzaufgaben. Ich konnte alle lösen, bis auf diese: Ergänzen Sie die folgenden Polynome so, dass sie eine Basis von bilden: p(s)=s³-3s²+5s+1, q(s)=s³-s²+8s+2, r(s)=2s³-4s²+9s+5. Bei der Aufgabe weiß ich nicht mal einen Ansatz für den Anfang... |
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