Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vereinigung von Kompakta.

Vereinigung von Kompakta.

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Integration

Tags: Grenzwert, Integration

peter2002 aktiv_icon

18:17 Uhr, 17.12.2022

Die Aufgabe lautet: Jede endliche Vereinigung von Kompakta ist kompakt. Ich komme bei meinem Annsatz nicht mehr weiter und weis nicht wie es genau beweisen kann. Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Punov aktiv_icon

19:54 Uhr, 17.12.2022

Hallo, peter2002!

Wenn wir hier von kompakten Teilmengen eines metrischen Raums sprechen, kannst du dir überlegen, ob du tatsächlich Folgenkompaktheit zeigen möchtest (was natürlich möglich ist) oder nicht vielleicht doch lieber die Heine-Borel-Überdeckungseigenschaft nachweisen möchtest (was ich hier übersichtlicher finde).

Folgenkompaktheit:

Zeige zunächst, dass die Vereinigung zweier kompakter Mengen kompakt ist. Seien also

K_{1}, K_{2}

kompakt und

K = K_{1} \cup K_{2}

. Sei

(x_{n})_{n \in ℕ}

eine Folge in

K

. Jedes Folgenglieder

x_{n}

ist in einer der beiden Mengen

K_{1}

oder

K_{2}

(es kann auch in beiden Mengen sein). Dann gibt es eine Teilfolge

(x_{n_{m}})_{m \in ℕ}

von

(x_{n})_{n \in ℕ}

von Folgengliedern, die in dem selben

K_{i}

mit

i = 1

oder

i = 2

enthalten sind. Da

K_{i}

nach Annahme kompakt ist, gibt es eine Teilfolge

(x_{n_{m_{ℓ}}})_{ℓ \in ℕ}

von

(x_{n_{m}})_{m \in ℕ}

, die gegen ein

x \in K_{i}

konvergiert. Diese Teilfolge ist aber auch eine Teilfolge der ursprünglichen Folge

(x_{n})_{n \in ℕ}

und

x \in K \supset K_{i}

. Also ist

K

kompakt.

Um die Aussage nun für eine beliebige endliche Vereinigung zu zeigen, kannst du vollständige Induktion benutzen. Der Induktionsanfang ist bereits erledigt. Wenn du nun annimmst, die Vereinigung von

n - 1

kompakten Mengen sei kompakt, und dass

K = ⋃_{k = 1}^{n} K_{k}

ist eine Vereinigung kompakter Mengen, schreibe

K = K_{1} \cup ⋃_{k = 2}^{n} K_{k}

.

Da bereits gezeigt ist, dass die Vereinigung zweier Kompakter Mengen kompakt ist, folgt mit der Induktionsannahme die Behauptung.

Alternativ kannst du, wie gesagt, auch viel kürzer argumentieren:

Sei

O

eine offene Überdeckung von

K = ⋃_{k = 1}^{n} K_{k}

; dann ist

O

insbesondere eine offene Überdeckung für alle

K_{k}, k = 1, \dots, n

. Da die Mengen

K_{k}

allesamt kompakt sind, gibt es zu jedem

K_{k}

eine endliche offene Überdeckung

O_{k} \subset O

für

K_{k}

. Dann ist

⋃_{k = 1}^{k} O_{k} \subset O

eine endliche offene Überdeckung von

K

, damit ist

K

kompakt.

Viele Grüße

peter2002 aktiv_icon

12:16 Uhr, 18.12.2022

Viel. Dank für die Hilfe.
Jetzt habe ich die Aufgaabe verstanden, auf die Idee mit dem Induktionsbeweis wäre ich selber nicht gekommen.

1564944

1564933

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?