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Verhalten an den Polstellen

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Funktionen

Grenzwerte

Tags: Funktion, Grenzwert, Polstelle

Mikhail aktiv_icon

20:26 Uhr, 09.02.2013

Guten Abend allerseits. Ich habe gerade heftige Probleme beim Verständnis der

Polstellen bzw. dem Verhalten an den Polstellen. Teilweise liegt es daran dass es keine

einheitliche Schreibung existiert. Bis jetzt habe ich keine 2 Quellen gefunden, wo das

Gleiche drin stünde.

Ich hoffe mir wird geholfen.

Beispiel:

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x}

Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen und das Verhalten an den Polstellen.

Nullstellen sind 1 und

+ 1

Polstellen sind 0 und 4

Und jetzt das eigentliche Problem:

Wenn 4 die Polstelle gibt, sprechen manche Lehrbücher von einer Annäherung von oben und unten, andere von rechts/links, andere wiederum von

\frac{+}{-}

.
Das verwirrt mich ganz stark. Wie lässt sich das erklären?

Ich wäre für alle Tipps dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

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Atlantik aktiv_icon

22:17 Uhr, 09.02.2013

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x} = \frac{x^{2} - 1}{x \cdot (x - 4)}

Nullstellen:(sind Punkte auf der x-Achse)

x^{2} - 1 = 0

x_{N_{1}} = 1

x_{N_{2}} = - 1

Polstellen:(sind Geraden parallel zur y-Achse oder die y-Achse selbst)

x \cdot (x - 4) = 0

x_{P_{1}} = 0

x_{P_{2}} = 4

Nullstellen des Zählers

\neq

Nullstellen des Nenners

Oberbegriff ist Asymptote. Sie können Geraden oder Kurven sein.

waagerechte Asymptote:

lim_{x \to + 00} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x} = lim_{x \to + 00} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x}} = 1

lim_{x \to - 00} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x} = lim_{x \to - 00} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x}} = 1

mfG

Atlantik

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rundblick aktiv_icon

22:24 Uhr, 09.02.2013

"Wie lässt sich das erklären?"

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x}

Polstelle

x = 4 \to

zu den "Vorzeichen" ..schön der Reihe nach:

"anpirschen"
es wird

\to

1)

der links-seitige Grenzwert .. also

x \to 4_{-} .

. betrachtet .. du siehst dann

: y \to - \infty

also: von links

\to

nach unten

2)

der rechts-seitige Grenzwert .. also

x \to 4_{+} .

. betrachtet .. du siehst dann

: y \to + \infty

also: von rechts

\to

nach oben

ok?

Mikhail aktiv_icon

23:37 Uhr, 09.02.2013

Danke für die Antworten.

Da habe ich 2 Rückfragen:

Muss ich also für

x

zuerst

3,9

einsetzen( das wäre dann anpirschen von Unten("unten/oben" wird bei uns in UNI als Jargon verwendet)

und dann

4,1

für

x

einsetzen, das ist dann Näherung von Oben, richtig?

2. Frage:

Wenn Grad des Nennerpolynoms gleich dem Grad des Zählerpolynom ist, muss ich da nicht zuerst Polynomdivision durchführen und DANN erst

4,1

und

3,9

in die Gleichung einsetzen?

Was ist wenn der Grad des Zählers höher ist, als der des Nenners und ich ich die

4,1

und

3,9

(also die annährenden Werte) einsetze, würde es dann nicht klappen?

Danke im Voraus!

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