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Verhalten gegen Unendlich u. 0 Taylorreihe

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzwert, lim, Taylorreihe, Verhalten bei Unendlich

mac-user09 aktiv_icon

17:29 Uhr, 26.11.2012

Hallo,

ich habe mal eine allgemeine Frage: Wie ermittele ich mit einer Taylorreihe das Verhalten für

x

strebt gegen ±unendlich und das Verhalten für

x - - - \to 0

?

Bis jetzt hatte ich das immer mit einer Limes-Betrachtung gemacht. Nun wird die Taylorreihe verlangt....

Danke und Grüße
Mac

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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pwmeyer aktiv_icon

18:10 Uhr, 26.11.2012

Hallo,

ich verstehe dieFrage nicht. Gibts ein Beispiel?

Gruß pwm

mac-user09 aktiv_icon

20:00 Uhr, 26.11.2012

Speziell jetzt für Bahnkurven, bzw. deren Ableitungen.

Diese wurden meistens aus DGLs bestimmt, so wie diese hier:

v (t) = - \frac{σ}{α} \cdot e^{- α \cdot t} + \frac{σ}{α}

σ, α \in ℝ

Wie verhält sich das ganze für

t

gegen 0 und für

t

gegen unendlich. Beides soll mit der Taylorreihe bestimmbar sein...

anonymous

09:57 Uhr, 28.11.2012

Mir ist nicht klar, warum hier die Taylorreihe herangezogen werden soll. Der Grenzwert ergibt sich eigentlich aus den Eigenschaften einer Exponentialfunktion.

v (t) = - \frac{σ}{α} \cdot e^{- α \cdot t} + \frac{σ}{α}

Geht

t \to 0,

so geht

- α \cdot t \to 0

und

e^{- α \cdot t} \to 1,

somit geht

v (t) \to 0

e^{- α \cdot t} = \frac{1}{e^{α \cdot t}}

Geht

t \to + \infty,

so geht auch

α \cdot t \to + \infty

und

e^{α \cdot t} \to + \infty,

somit

\frac{1}{e^{α \cdot t}} \to 0, d . h

v (t) \to \frac{σ}{α}

Die Überlegungen für

t \to - \infty

scheinen mir irrelevant, da nicht möglich.
Achtung: Sollten für

α

auch negative Werte möglich sein, obige Überlegung adäquat adapitieren.

mac-user09 aktiv_icon

20:17 Uhr, 28.11.2012

So geht es mir auch. Wir sollen einfach in irgendeinem Buch (welches wird verschwiegen) nachschlagen.

Ich würde es über den Limes machen, nicht über die Taylorreihe.

Hat keiner eine Idee?

pwmeyer aktiv_icon

13:33 Uhr, 29.11.2012

Hallo,

irgendwo muss man ja auch beweisen, dass

e^{- t} \to 0

für

t \to \infty

. Das kann man so machen:

e^{- t} = \frac{1}{e^{t}} = \frac{1}{1 + t + \frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{6} t^{3} + ...} \leq \frac{1}{t} \to 0

Man kann aber auch statt

\frac{1}{t}

jeden anderen Term nehmen, also

\frac{1}{\frac{1}{k!} t^{k}},

und sieht dann dass

e^{- t}

schneller gegen 0 geht als jede Potenz.

vielleicht sollte darauf hingewiesen werden.

Gruß pwm

mac-user09 aktiv_icon

17:13 Uhr, 29.11.2012

Ja, das sieht gut aus. Vermutlich ist das das, worauf sie hinaus wollen. Danke sehr

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