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Vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Induktion, vollständig, vorraussetzung

Robert2 aktiv_icon

19:13 Uhr, 15.11.2014

Hallo,

wir hatten an der Uni zuletzt das Thema vollständige Induktion doch leider blicke ich bei einer Aufgabe überhaupt nicht durch.

Man soll anhand

n \geq 3

zeigen, dass

n^{2} > 2 n + 1

ist.

Diese Behauptung gilt ja da

3^{2} > 2 \cdot 3 + 1

ist.

Wenn ich das richtig sehe ist nun zu zeigen, dass

{(n + 1)}^{2} > 2 \cdot (n + 1) + 1

ist. Doch was nun?
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?

Durch das folgende Beispiel wurde ich leider auch nicht schlauer, zumal ich die vorletzte Zeile absolut nicht verstehe:

Bsp3:

2^{3} n + 13

ist für alle

n

≥ 0 durch 7 teilbar.
Beweis durch vollständige Induktion

n = 0

zu zeigen

2^{3} n + 13

ist durch 7 teilbar
gilt wegen
2^3·0

+ 13 = 14

ist durch 7 teilbar
Induktionsvoraussetzung:

2^{3} n + 13

ist durch 7 teilbar

n

→

n + 1

zu zeigen

2^{3} (n + 1) + 13

ist durch 7 teilbar
gilt wegen

2^{3 n + 1} + 13 = 2^{3 n + 3} + 13

= 2^{3 n} \cdot 2^{3} + 13

= 2^{3 n} \cdot 8 + 13

= (2^{3 n}

7) + (2^{3 n} + 13) |

was passiert hier?
beides durch 7 teilbar, somit ist auch die Summe durch 7 teilbar

q . e . d

.

Liebe Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sams83 aktiv_icon

20:47 Uhr, 15.11.2014

Hallo,

zu Deiner Aufgabe:
Der Induktionsanfang ist gegeben (Dadurch, dass Du

n = 3

einsetzt, ist natürlich noch nicht die gesamte Formel bewiesen).

Dann setzt Du ganz richtig

(n + 1)

ein und musst zeigen dass die Formel für

(n + 1)

gilt, unter der Voraussetzung, dass sie für

n

gilt.

In Deinem Fall:

Nimm die linke Seite, wende binomische Formel an und nutze dann die Formel für

n^{2}

. Dann zusammenfassen und noch eine Abschätzung nach unten benutzen, um zu zeigen, dass es größer als

2 (n + 1) + 1

ist.

Klappt's?

PS:
Im Beispiel, was Du nicht verstehst, werden folgende Umformungen gemacht:

2^{3 n} \cdot 8 + 13 = 2^{3 n} \cdot (7 + 1) + 13 = 2^{3 n} \cdot 7 + 2^{3 n} + 13

Robert2 aktiv_icon

13:03 Uhr, 16.11.2014

Vielen Dank!

Wenn ich

{(n + 1)}^{2} > 2 \cdot (n + 1) + 1

zusammenfasse kommt ja

n^{2} > 2

raus.
Reicht das dann nicht auch schon als Beweis aus (da

n \geq 3

ist)?

Sams83 aktiv_icon

13:32 Uhr, 16.11.2014

Ja, stimmt, dürfte ausreichen.

Robert2 aktiv_icon

23:25 Uhr, 16.11.2014

Dann nochmals vielen Dank, ich denke damit ist das Hauptproblem erledigt. :-)

Respon

23:59 Uhr, 16.11.2014

13 : 03

"Wenn ich

{(n + 1)}^{2} > 2 \cdot (n + 1) + 1

zusammenfasse kommt ja

n^{2} > 2

raus.
Reicht das dann nicht auch schon als Beweis aus (da n≥3 ist)?"

Diese Überlegung ist nicht ganz korrekt. Du gehst ja von einer Voraussetzung aus, die ja erst bewiesen werden muss.

Sei unsere Behauptung bereits für

n

bewiesen, also

n^{2} > 2 \cdot n + 1

(n \geq 3)

{(n + 1)}^{2}

???

{(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 \cdot n + 1

Da aber bereits als erwiesen gilt

: n^{2} > 2 \cdot n + 1,

können wir abschätzen

{(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 \cdot n + 1 > (2 \cdot n + 1) + 2 \cdot n + 1

Es gilt

: 2 \cdot n > 1,

es läßt sich also weiter abschätzen

{(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 \cdot n + 1 > (2 \cdot n + 1) + 2 \cdot n + 1 > (2 \cdot n + 1) + 1 + 1 = 2 \cdot n + 2 + 1 = 2 \cdot (n + 1) + 1

Wegen der Transitivität folgt also

{(n + 1)}^{2} > 2 \cdot (n + 1) + 1

q . e . d

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