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Vollständige Induktion Ansatz finden

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Beweis durch vollständig Induktion, Induktion

Garstbold aktiv_icon

19:14 Uhr, 07.04.2020

Ich habe folgende Aufgabe.

Beweisen Sie mithilfe von vollständiger Induktion,
dass es für natürliche Zahlen 2 ≤

n

∈

N

die folgende Darstellung gibt:

n = 2 a + 3 b

für

a, b

∈

N, a + b > 0

.

Für den Induktionsanfang nehme ich

n = 3

und wähle

b = 1

und

a = 0

dann geht die Gleichung auf

3 = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1

3 = 3

Jetzt weiß ich aber nicht mehr wie ich beim Induktionsschritt weitermachen soll.
Bei allen anderen Induktionsaufgaben hatte ich immer die Variable über die ich die Induktion führe auf beiden Seiten der Gleichung.

Habt ihr nen Tipp wie ich weitermachen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

19:43 Uhr, 07.04.2020

Hallo,

sei

n = 3 a + 2 b

mit

b \geq 1

.
Dann hat man

n + 1 = 3 a + 2 b + 1 = 3 a + 2 b + 3 - 2 = 3 (a + 1) + 2 (b - 1)

.
Mache dir nun ähnliche Gedanken zum Fall

b = 0

...

Gruß ermanua

abakus

08:28 Uhr, 08.04.2020

Aber wenn man das fortgesetzt macht (also b auf b-1 verkleinern) wird b immer kleiner und irgendwann negativ.

@Garstbold
Wieso machst du den Induktionsanfang für n=3?
Das muss auch schon mit 2 funktionieren. Du brauchst hier einfach einen doppelten Induktionsanfang:
n=2 : 2=1*2+0*1
n=3 : 3=0*2+1*3

Wenn 2 und 3 funktionieren, funktioniert jede weitere Zahl auch, denn durch einen zusätzlichen Summanden 2 erhält man 4 bzw. 5, daraus 6 bzw 7 usw.

ermanus aktiv_icon

08:33 Uhr, 08.04.2020

"Aber wenn man das fortgesetzt macht (also b auf b-1 verkleinern) wird b immer kleiner und irgendwann negativ."

Genau! Daher der von mir gegebene Rat:
"Mache dir nun ähnliche Gedanken zum Fall b=0 ..."
Da hilft

4 - 3 = 1

;-)

ermanus aktiv_icon

08:55 Uhr, 08.04.2020

Oh! Ich sehe gerade, dass ich hier erhebliche Verwirrung gestiftet habe,
indem ich

a

und

b

vertauscht habe ...
Man hat daher die Möglichkeit, wie abakus es vorschlägt, eine zweifache
Verankerung (n=2, n=3) zu verwenden und den Induktionsschritt einheitlich
durchzuführen, oder, wie ich es gemeint hatte, bei n=2 zu verankern
und im Induktionsschritt eine Fallunterscheidung zu machen.

Noch mal Sorry für die Schusseligkeit :(

P.S.: Die Methode von abakus ist durchsichtiger als meine und daher
wohl vorzuziehen.

Garstbold aktiv_icon

13:15 Uhr, 08.04.2020

Also angenommen ich würde nur die Verankerung

n = 2

nehmen.

Dann müsste ich doch zwischen 3 Fällen unterscheiden um alle Zahlen darstellen zu können oder?

Einmal

a = 0

und

b \geq 1

dann

a \geq 1

und

b = 0

und

a \geq 1

und

b \geq 1

sehe ich das richtig?

Für den ersten Fall hätte ich dann

n + 1 = 2 a + 3 b + 1

n + 1 = 3 b + 2 a + 3 - 1

n + 1 = 3 (b + 1) + 2 (a - 1)

Für den zweiten Fall

n + 1 = 2 a + 3 b + 4 - 3

= 2 (a + 2) + 3 (b - 1)

und für den dritten Fall brauche ich dann keine Umformungen mehr?

"Wenn 2 und 3 funktionieren, funktioniert jede weitere Zahl auch, denn durch einen zusätzlichen Summanden 2 erhält man 4 bzw.

5,

daraus 6 bzw 7 usw." Ja kann ich nachvollziehen aber weiß nicht wie ich das dann Formal aufschreiben würde

Schon mal danke für eure Hilfe

ermanus aktiv_icon

13:36 Uhr, 08.04.2020

Hallo,
sei

n = 2 a + 3 b

.

man kommt mit 2 Fällen aus:
1.

a > 0

und
2.

a = 0

, was wegen

a + b > 0

automatisch

b > 0

liefert.

1.Fall:

n + 1 = 2 a + 3 b + 3 - 2 = 2 (a - 1) + 3 (b + 1)

2.Fall:

n + 1 = 3 b + 4 - 3 = 3 (b - 1) + 2 \cdot 2

.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

14:11 Uhr, 08.04.2020

Nachtrag:
eigentlich ist vollst. Induktion eine "Aufblähung":

Gerade Zahlen

\geq 2

haben die Gestalt

2 n

mit

n \geq 1

.
Ungerade Zahlen

\geq 3

haben die Gestalt

2 n + 1

mit

n \geq 1

,
also

2 n + 1 = 2 (n - 1) + 3

,

fertig !

ermanus aktiv_icon

16:38 Uhr, 09.04.2020

Hallo,

an den Fragesteller: ist in der Originalaufgabe gefordert, dass man sie mit
vollständiger Induktion lösen soll?
Irgendeine Reaktion wäre übrigens angebracht ...

Ansonsten: wenn alles klar ist, bitte abhaken !

Gruß ermanus

Garstbold aktiv_icon

17:31 Uhr, 09.04.2020

Ja Induktion war explizit gefordert aber ich denke ich lass das jetzt erstmal so stehen. Danke für eure Hilfe

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