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Vollständige Induktion Beweis

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

Tags: Beweis, Induktion, vollständig

fehrnsehen aktiv_icon

17:38 Uhr, 09.11.2015

Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich absolut nicht weiter komme.
Ich soll mit der Vollständigen Induktion die folgende Aussage beweisen:

Die Zeichenebene wird durch

n

Geraden

(n \geq 0)

"in"

S (n) =

1+(n²+n)/(2) Bereiche zerteilt, wenn die Geraden folgende Eigenschaften haben.

a)

die Geraden sind paarweise nicht parallel

b)

es schneiden sich maximal 2 Geraden in einem Punkt

Normalerweise waren zwei Folgen gegeben und ich musste beweisen, dass sie gleich sind aber mit dieser Art Aufgabenstellung komme ich nicht klar. Bitte um Hilfe.

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

18:08 Uhr, 09.11.2015

Hallo,

"Normalerweise waren zwei Folgen gegeben und ich musste beweisen, dass sie gleich sind ..."

Du meinst, "normalerweise" (Was ist eigentlich an dieser Stelle die Norm, die den Gebrauch von "normalerweise" rechtfertigt?) hast Du von der EINEN Folge die rekursive Vorschrift vorgegeben und sollst damit die explizite Vorschrift beweisen. Jetzt hast Du eine Aufgabe, bei der Du die rekursive Vorschrift selbst ermitteln musst und das überfordert Dich! Dann fange msl mit wenigen Geraden an und finde heraus, wie viele Bereiche dazukommen.

fehrnsehen aktiv_icon

18:19 Uhr, 09.11.2015

Zum Kotzen. Das jemand wie du nicht verstehen kann, dass es Menschen gibt, die kein Genie in Mathe sind. Verzeih mir wenn ich mich für dich nicht intellektuell genug ausgedrückt habe, aber dein Tipp (Mach dir doch einfach Gedanken) bringt mir NICHTS.
Ich überlege seit ca 1 Stunde und komme nicht drauf was ich tun soll.

Werner-Salomon aktiv_icon

19:46 Uhr, 09.11.2015

Hallochen,

don't worry

Ich unterstelle mal, dass Du mit der vollständigen Induktion im Prinzip vertraut bist. Dann hast Du es bestimmt schon geschafft den Induktionsanfang aufzustellen.

Wenn keine Gerade (

n = 0

) da ist, gibt es nur einen Bereich - die Zeichenebene selbst. Ich prüfe das mal nach

S (n = 0) = 1 + \frac{n^{2} + n}{2} = 1 + \frac{0}{2} = 1

stimmt.
Zur Kontrolle noch mal für

n = 2

. zwei Geraden würde die Zeichenebene in vier Bereiche aufteilen - ich denke, dass kann man sich noch gut vorstellen.

S (n = 2) = 1 + \frac{n^{2} + n}{2} = 1 + \frac{6}{2} = 4

passt auch.

So - beim Induktionsschritt wird es jetzt schwieriger. Es liegen bereits

n

Geraden da - eine weitere Geraden kommt hinzu.
Ist das die Stelle, wo Du hängst?

Gruß
Werner

fehrnsehen aktiv_icon

19:51 Uhr, 09.11.2015

Vielen Dank für die Antwort!
Ja genau an der Stelle hängt es :-) Das mit dem Einsetzen habe ich auch schon probiert.
Aus den Vorgaben schließe ich jetzt, dass die Steigung bei jeder Geraden unterschiedlich sein muss oder?

Werner-Salomon aktiv_icon

19:58 Uhr, 09.11.2015

Ja - genau so ist es.
Die Steigung ist unterschiedlich, da ja klar in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass die Geraden paarweise nicht parallel sind.

Wenn jetzt die neue Gerade kommt - wie viele neue Schnittpunkte entstehen dann?

fehrnsehen aktiv_icon

19:59 Uhr, 09.11.2015

7? Aber was sagt mir das jetzt?

Werner-Salomon aktiv_icon

20:02 Uhr, 09.11.2015

Nein - 7 ist irgendwie keine allgemein korrekte Angabe.

n

Geraden liegen da schon. Die (

n + 1 .

)Gerade kommt hinzu, keine der Geraden ist parallel zu einer anderen und die neue Gerade geht auch durch keinen der bereits vorhandenen Schnittpunkte.
Wie viele neue Schnittpunkte gibt es dann?

fehrnsehen aktiv_icon

20:05 Uhr, 09.11.2015

Wenn die Geraden nicht Parallel sind sollten es trotzdem mindestens 2 neue Schnittpunkte geben oder?

Werner-Salomon aktiv_icon

20:08 Uhr, 09.11.2015

Nein es sind mehr ... Hmm!

Nimm Dir bitte mal einen Zettel (nicht liniert) und zeichne dort 3 Geraden - nicht parallel und jeder Schnittpunkt wird nur durch zwei Geraden gebildet - nicht mehr.
Jetzt zeichne mit einer anderen Farbe eine vierte Gerade hinzu.

Wie viele neue Schnittpunkte mit den anderen Geraden siehst Du jetzt?

fehrnsehen aktiv_icon

20:12 Uhr, 09.11.2015

Nun komme ich auf 6 Schnittpunkte

(3

mehr als davor)

Werner-Salomon aktiv_icon

20:16 Uhr, 09.11.2015

Es sind 6 Schnittpunkte insgesamt. Es sind drei MEHR - richtig.
Wichtig ist, dass es drei mehr(!) sind als vorher.

Jetzt laufe mal in Gedanken an der neuen Geraden entlang, bis zum ersten Schnittpunkt.
Was tut die Gerade mit dem Bereich, den Du bisher (bis zum ersten Schnittpunkt) durchlaufen hat?

fehrnsehen aktiv_icon

20:21 Uhr, 09.11.2015

Sie teilt den Bereich in 2 Teile?

Werner-Salomon aktiv_icon

20:23 Uhr, 09.11.2015

Ja genau - wo vorher ein Bereich war, sind jetzt zwei. Wichtig: es ist einer mehr!

Jetzt verfolge die neue Gerade weiter, bis zum zweiten Schnittpunkt. Wie viele NEUE Bereiche kommen dann hinzu?

fehrnsehen aktiv_icon

20:27 Uhr, 09.11.2015

wieder 2 neue sind dann also 4

Werner-Salomon aktiv_icon

20:31 Uhr, 09.11.2015

Ich muss es nochmal betonen: es geht NUR um die Anzahl der Bereiche, die NEU hinzukommen. 4 insgesamt ist richtig - also zwei neu bis zum zweiten Schnittpunkt. Weil zwei waren ja schon vorher da - diese wurden geteilt.

Jetzt bist Du in Übung - laufe bitte mal zum dritten Schnittpunkt und danach über den dritten Schnittpunkt hinaus.
Wie viele viele NEUE Bereiche sind jetzt insgesamt durch die 4. Gerade NEU HINZUGEKOMMEN.?

fehrnsehen aktiv_icon

20:32 Uhr, 09.11.2015

8 Insgesamt

Werner-Salomon aktiv_icon

20:37 Uhr, 09.11.2015

Hmm!? .. Wie groß ist die Anzahl der NEUEN Bereiche?
Es ist korrekt, dass 8 Bereiche neu gebildet worden, aber da waren doch schon welche - wie viele waren da vorher? Die zählen nicht mit.
Es geht nicht um den Bereiche selber, oder wie sie aussehen - das ändert sich durch die neue Gerade - schon klar. Es geht nur um die ANZAHL.

Wenn es vorher

S (3) = 7

Bereiche waren - wie viele sind es jetzt MEHR?

Werner-Salomon aktiv_icon

20:49 Uhr, 09.11.2015

.. jetzt nicht aufgeben. Wir sind ganz dicht dran. Wenn es zu schwierig mit dem MEHR ist.
Wie viele Bereiche sind es nach Einzeichnen der neuen Gerade insgesamt?

fehrnsehen aktiv_icon

21:01 Uhr, 09.11.2015

Also ich zähle

10

Bereiche bei 4 Geraden.
Achso ja klar dann sind es 4 Bereiche mehr geworden bei der 4. Gerade!

Werner-Salomon aktiv_icon

21:05 Uhr, 09.11.2015

Wow! - super.
Gleich haben wir's. die 4.Gerade ist hier die (n+1)'ste Gerade.

Wenn also

S (n)

die Anzahl der Bereiche ist, die schon da sind - um wie viel steigt die Anzahl an, wenn die neue Gerade hinzu kommt?

fehrnsehen aktiv_icon

21:10 Uhr, 09.11.2015

Die Anzahl der Bereiche steigt zusammen mit "n"?
Also:
4. Gerade

(+ 4

Bereiche)
5. Gerade

(+ 5

neue Bereiche)

Werner-Salomon aktiv_icon

21:12 Uhr, 09.11.2015

Stimmt - kannst Du das verallgemeinern mit einem Ausdruck mit

n

?
Mathematik ist so furchtbar formal ;-)

Also sowas in der Form:

S (n + 1) = S (n) + ?

fehrnsehen aktiv_icon

21:17 Uhr, 09.11.2015

S (n + 1) = S (n + 1) x

wobei

x

die Flächen wären

Werner-Salomon aktiv_icon

21:26 Uhr, 09.11.2015

Das

x

muss eine Funktion von

n

sein.

Nochmal:

S (0) = 1

S (1) = 2

also

S (0 + 1) = S (0) + 1

S (2) = 4

also

S (1 + 1) = S (1) + 2

S (3) = 7

also

S (2 + 1) = S (2) + 3

S (4) = 11

also

S (3 + 1) = S (3) + 4

S (5) = 16

also

S (4 + 1) = S (4) + 5

und jetzt

S (n + 1)

berechnet sich aus

S (n + 1) = S (n) + ?

fehrnsehen aktiv_icon

21:38 Uhr, 09.11.2015

S (n + 1) = S (n) + S (n + 1)

Werner-Salomon aktiv_icon

21:41 Uhr, 09.11.2015

Äääh .. schau mal genau hin, was da steht. Wenn ich den Ausdruck

S (n + 1)

mit Fliegenfurz bezeichne, dann ist

S (n + 1) = S (n) + S (n + 1)

Fliegenfurz = S (n) + Fliegenfurz

auf beiden Seiten

Fliegenfurz

abziehen - ergibt:

0 = S (n)

stimmt nicht .. versuch's noch mal

fehrnsehen aktiv_icon

21:46 Uhr, 09.11.2015

dann nur

+ 1

Werner-Salomon aktiv_icon

21:54 Uhr, 09.11.2015

..da fehlt noch was.

Gefragt ist nach dem vollständigen Ausdruck, der von

n

abhängt und zu

S (n)

hinzu gezählt werden muss, damit

S (n + 1)

heraus kommt.

Wenn ich Dir jetzt sage dass

S (n + 1 = 10) = S (n = 9) + 10

S (n + 1 = 11) = S (n = 10) + 11

ist, wie kann ich dann die 10 oder die 11 in Abhängigkeit von

n

schreiben - oder nochmal in klein:
bei

n = 9

ist der Zuwachs =10
bei

n = 10

ist der Zuwachs =11
bei

n = 11

wäre der Zuwachs an der Anzahl der Bereiche =12

was muss dann vollständig da stehen um von

n

auf den Zuwachs zu kommen?

fehrnsehen aktiv_icon

22:04 Uhr, 09.11.2015

Ich komme auf nichts anderes als

n + 1

tut mir leid

\frac{:}{}

Werner-Salomon aktiv_icon

22:07 Uhr, 09.11.2015

Yeah !!

n + 1

ist doch richtig - hattest Du bisher aber nirgendwo geschrieben, oder habe ich es übersehen?

Wir halten fest:

S (n + 1) = S (n) + n + 1

das gilt aus den obigen Überlegungen - jetzt nur noch die Formel

S (n) = 1 + \frac{n^{2} + n}{2}

einsetzen und zeigen, dass das übereinstimmt.

versuch's mal

fehrnsehen aktiv_icon

22:24 Uhr, 09.11.2015

Ich danke dir für deine Mühen!
Aber wie kann ich jetzt die Volls. Induktion durchführen?
Was ist jetzt genau gleich? Wo soll ich 1 einsetzen

Werner-Salomon aktiv_icon

22:33 Uhr, 09.11.2015

Ja - ich dachte oben, dass Du das schon mal gemacht hast. Aber es ist jetzt schon spät, und alte Leute wie ich müssen bald in's Bett.
daher zeige ich es Dir:
Es wird angenommen, dass

S (n) = 1 + \frac{n^{2} + n}{2}

wir haben gezeigt, dass es für

S (0)

(und weitere

n

) korrekt ist.

Weiter haben wir gezeigt, dass

S (n + 1) = S (n) + n + 1

ist.

Im Induktionsschritt muss man nun zeigen dass

S (n) + n + 1 = (1 + \frac{n^{2} + n}{2}) + (n + 1)

das gleiche ist wie

S (n + 1) = 1 + \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2}

zeige also, dass

(1 + \frac{n^{2} + n}{2}) + (n + 1) = 1 + \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2}

ist pure Algebra - falls Du Schwierigkeiten hast, so sage es bitte gleich.

fehrnsehen aktiv_icon

22:41 Uhr, 09.11.2015

Vielen Vielen Dank! Sie haben mir wirklich sehr geholfen! Jetzt verstehe ich es und komme klar!!!
:-)
Schlafen Sie gut!

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