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Wachstum Exponential- vs. Potenzfunktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Miausch aktiv_icon

17:18 Uhr, 29.03.2012

Hi

Ich möchte folgenden Grenzwert berechnen:

lim_{x \to \infty} = \frac{a^{x}}{x^{n}}

Da kann man nun den Satz von l'Hopital anwenden. Bei uns
im Skript wirds dann wie folgt vereinfacht:

= lim_{x \to \infty} ({(log (a))}^{n} \cdot \frac{a^{x}}{n!})

könnt ihr mir ev. erklären, wie man da drauf kommt?

Merci

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
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Underfaker aktiv_icon

17:23 Uhr, 29.03.2012

Das ist eigentlich recht simpel, immerhin hast du schon die Grundlagen geliefert.

\to

L'hôspital

Du leitest den Zähler und Nenner solang ab bis nicht mehr

\frac{\infty}{\infty}

rauskäme

Im Zähler steht eine Exponentialfunktion

a^{x}

die abgeleitet

ln (a) a^{x}

ergibt, wenn du das wieder ableitest kommt einfach ein

ln (a)

als Faktor dazu und so weiter.

Im Nenner wirds interessant, wenn man den

n

mal ableitet, wird aus dem Exponenten eine 0 und dann steht nur noch eine Zahl dort, es ist einfach zu sehen, dass man das n-mal machen muss.

x^{n}

abgeleitet ergibt

n \cdot x^{n - 1}

das gibt wiederum abgeleitet

n \cdot (n - 1) \cdot x^{n - 2}

usw.

nach

n

Ableitungen erhalten wir:

n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

und das ist ja gerade

n!

Also haben wir im Zähler nach

n

Ableitungen,

b

Faktoren von

ln (a)

das ist natürlich

{(ln (a))}^{n} \cdot a^{x}

und im Nenner

n!

Für

a \geq 2

gilt der offensichtliche Fall für

a = 1

gilt jedoch der Sonderfall, das im Zähler eine 1 steht und entsprechend der Zähler für

n \in ℕ

gegen

\infty

geht

\to \frac{1}{\infty} = 0

Miausch aktiv_icon

18:28 Uhr, 31.03.2012

Vielen Dank. Alles klar bis etwas Letztes: Warum geht im Sonderfall

a = 1

der Nenner gegen oo?
Man schaut sich doch nur das Verhalten für

x

gegen

\infty

an?

Thx

irena

18:49 Uhr, 31.03.2012

Hallo,
für

a = 1

gilt:

lim_{x \to \infty} {(log 1)}^{n} \cdot \frac{1^{x}}{n!} = 0

log 1 = 0

ist

Miausch aktiv_icon

19:19 Uhr, 31.03.2012

Aha. Dann ist das mit

\frac{1}{\infty}

falsch?

irena

19:26 Uhr, 31.03.2012

sieht ganz so aus:

lim_{x \to \infty} n \cdot log 1 \cdot \frac{1^{x}}{n \cdot (n - 1)!} = lim_{x \to \infty} 0 \cdot \frac{1^{x}}{(n - 1)!} = lim 0 = 0

Underfaker aktiv_icon

00:25 Uhr, 01.04.2012

Dann ist

\frac{1}{\infty}

falsch?

Überlegt mal, muss man bei

1^{x}

noch überlegen wogegen das geht?

Hier benötigt man keine Ableitung mehr, darf man auch nciht da die Voraussetzungen für L'hôspital garnicht erfüllt sind.

Für

n \in ℕ

lim_{x \to \infty} \frac{1^{x}}{x^{n}} = \frac{1}{\infty} = 0

Miausch aktiv_icon

01:05 Uhr, 01.04.2012

Das

1^{x}

für

x \to \infty

gegen 1 geht ist ja klar - war auch nicht meine Frage.
Mich hats Wunder genommen, warum du auch

n

gegen unendlich streben lässt.

Und Irina sagt ja quasi, dass sich die Frage nach Grenzwert so gar nicht mehr stellt, wenn man es mit Null multipliziert...bzw ist dann der GW einfach Null.

CKims aktiv_icon

01:19 Uhr, 01.04.2012

irena wqr etwas zu voreilig... man darf fuer

a = 1

nicht die formel mit dem log nehmen, weil man

l

hopital gar nicht anwenden darf... wie underfaker schon gesagt hat... stattdessen laesst sich das direkt ausrechnen

lim_{x \to \infty} \frac{1^{x}}{x^{n}} = \frac{1^{\infty}}{\infty^{n}} = \frac{1}{\infty} = 0

es geht also nicht

n

gegen undendlich sondern

\infty^{n}

geht gegen

\infty

irena

09:34 Uhr, 01.04.2012

Sorry, da war ich wirklich zu voreilig:
für

a = 1

ist l'Hospital nicht anwendbar-> der Grenzwert läßt sich direkt ausrechnen.

Underfaker aktiv_icon

10:18 Uhr, 01.04.2012

Miausch, der Nenner geht mit derselben Argumentation gegen

\infty

wie auch schon ganz am Anfang der Aufgabe, du hattest ja schon L'hôspital angesprochen, der durfte ja nur verwendet werden da

\frac{\infty}{\infty}

gilt, du musstest also schon wissen, dass der Nenner gegen

\infty

geht.

Wenn wir das a anpassen, verändert sich im Nenner ja nichts, wegen dem

x

geht der Nenner natürlich weiterhin gegen

\infty,

stell dir vor im Nenner stünde

x

oder

x^{2}

oder

x^{3}

für

x \to \infty

ist das immer

\infty,

den Zähler hast du ja damit verstanden.

Die Darstellung von Moklok, dürfte das ganze ja noch eindeutiger machen. :-)

Ich hoffe damit sind alle offenen Fragen jetzt klar. :-)

Miausch aktiv_icon

23:03 Uhr, 01.04.2012

Ja, alles klar, herzlichen Dank allen!
Ich hab aus Neugier noch eine Frage: Bei uns im Skript ist für l'Hopital angegeben, dass die Bedingung

g (x) = 0 = f (x)

erfüllt sein muss.
Von

g (x) = \infty = f (x)

steht nichts - daraus folgere ich, das Letzteres aus Ersterem folgen muss. Und tatsächlich wäre das ja der Fall, wenn man den Kehrwert der ursprünglichen Folgen nehmen würde - aber warum ist garantiert, dass man das darf?

x^{2}

;-)

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