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Wann l'hopital erlaubt?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, L'Hopital

CKims aktiv_icon

23:43 Uhr, 21.02.2010

hallo,

hatte in erinnerung gelernt zu haben dass man

l

hopital bei bruechen der Form

\frac{\infty}{\infty}

anwenden darf. habe dazu auch diverse aber wenige beweise im internet gefunden, wie auch

z . b

. hier

http//www.mathematik.net/gren-hop/g02s86.htm

schoen und gut... dann hab ich mir mal das ganze nochmal in wikipedia angeguckt und die liefern doch glatt ein gegenbeispiel

lim_{x \to \infty} \frac{sin (x) + 2 x}{cos (x) + 2 x}

was ja offensichtlich der form

\frac{\infty}{\infty}

ist. jedoch sagt

l

hopital

lim_{x \to \infty} \frac{cos (x) + 2}{- sin (x) + 2}

dass das ganze unbestimmt divergent ist. Jedoch geht das ganze gegen 1.

offensichtlich darf man

l

hospital nur bei

\frac{\infty}{\infty}

unter bestimmten einschraenkungen einsetzen (oder gar nicht). welche einschraenkungen sind das dann??

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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mschaetzer aktiv_icon

23:51 Uhr, 21.02.2010

Hallo, was ich weiß darf man L-Hostpital immer anwenden wenn man einen unbestimmten Ausdruck wie

\frac{0}{0}

oder unendlich/unendlich hat.

Nur in deinem Bsp musst du aufpassen, da man beim sinus und cosinus nicht einfach sagen kann, dass dieser einen Grenzwert annimmt wenn der Ausdruck gegen unendlich geht.
Hier könntest du

max

. den cosinus und sinus mit einer Taylorreihe oder dergleichen umschreiben.

lg

CKims aktiv_icon

23:58 Uhr, 21.02.2010

hmm..

ich kann deiner argumentation nicht ganz folgen

genauso wenig wie

sin (x) + 2 x

im unendlichen keinen grenzwert annimmt, nimmt auch

z . B

2 x

alleine keinen grenzwert an...

was meinst du mit taylorreihe umschreiben?? was bringt das fuer die grenzwertbetrachtung?

arrow30

00:13 Uhr, 22.02.2010

hi,
schau dir hier an

\to

www.onlinemathe.de/forum/Regel-von-Bernoulli-lHospital

mschaetzer aktiv_icon

00:26 Uhr, 22.02.2010

Doch

2 x

hätte den Grenzwert unendlich. Aber überleg dir mal der sinus und cosinus wechseld immer zwischen

- 1

und 1. Und du kannst nicht sagen welchen Grenzwert

z . B . :

Der

sin (x)

ist wenn

x

gegen unendlich geht, dass ist leider meines wissen nach so nichtdefiniert.
Mit der Taylorreihe meinte ich das

z . B . :

der Sinus ja umschrieben werden kann mit:
x-x³/3!+x^5/5!-..........
Wenn du jetzt

x

gegen unendlich gehen lässt wird dir klar, dass man diesen Grenzwert nicht berechnen kann.

MBler07 aktiv_icon

09:47 Uhr, 22.02.2010

Hi

l'Hospital darf angewendet werden, wenn der Grenzwert von

\frac{f (x)}{g (x)}

ein unbestimmter Ausdruck wie

\frac{\infty}{\infty}

oder

\frac{0}{0}

ist UND der Grenzwert von

\frac{f' (x)}{g' (x)}

existiert.

In deinem Bsp. ist die zweite Bedingung nicht erfüllt.

Genau das steht übrigens auch bei Wikipedia.

Zur Berechnung von diesem Grenzwert würde ich sowieso ganz einfach nur

2 x

im Zähler und Nenner ausklemmern und kürzen.

Grüße

CKims aktiv_icon

13:43 Uhr, 22.02.2010

A :

also dass der grenzwert fuer

lim_{x \to \infty} sin (x)

nicht existiert ist mir klar.

B :

ich dachte eigentlich auch, dass

lim_{x \to \infty} 2 x = \infty

mit "Grenzwert existiert nicht" bezeichnet wird.

C :

Auf jeden Fall wuerde ich auch sagen, dass

lim_{x \to \infty} sin (x) + 2 x = \infty

unter den Fall

B

faellt. Grenzwert existiert nicht.

wenn dem so ist, duerfte ich bei

lim_{x \to 00} \frac{e^{x}}{x} = lim_{x \to 00} \frac{e^{x}}{1} = \infty

auch nicht

l

hospital anwenden? Da ja die zweite Bedingung nicht erfuellt ist (

\frac{f' (x)}{g' (x)}

muss existieren)?

ich glaub knackpunkt ist bei mir, nicht genau zu wissen, was denn die Existenz eines grenzwerts genau ist...

danke schonmal fuer die rege beteiligung!!

arrow30

14:18 Uhr, 22.02.2010

hi, wenn ein bestimmter divergent vorliegt dann ist es erlaubt sowie bei der Funktion

\frac{2 x^{2}}{x} = lim 2 x = \frac{\infty}{\infty} = lim \frac{4 x}{1} = \infty

CKims aktiv_icon

14:51 Uhr, 22.02.2010

ahh, danke...

letzte frage. dann ist immer mit ein "Grenzwert existiert" ein endlicher oder bestimmt divergenter Ausdruck gemeint?? (dann klingelt es auch mit dem was mschaetzer gesagt hat).

lg

arrow30

14:58 Uhr, 22.02.2010

meinst du jetzt mit der

s i n

oder

c o s

Funktionen ? da brauchst du aber kein Taylor ..der Grenzwert falls der ja existiert dann ist der eindeutig..

lim_{x \to \infty} sin x

lassen wir

x = n \cdot π

und

n \to \infty

dann ist

lim_{x \to \infty} sin n \cdot π = 0

mit

x = \frac{π}{2} \cdot n

und

n \to \infty

hast du schon einen anderen Grenzwert.

CKims aktiv_icon

15:06 Uhr, 22.02.2010

ich meine das allgemein.

die regel lautet ja nach dem posting von mblero, dass ich

l

hopital anwenden darf wenn...

"UND der Grenzwert von

\frac{f' (x)}{g' (x)}

existiert."

dieses

"existiert" = endlicher Grenzwert oder bestimmt divergenter grenzwert??

aber auf jeden fall eindeutig??

arrow30

15:06 Uhr, 22.02.2010

ja..

CKims aktiv_icon

15:07 Uhr, 22.02.2010

danke an alle... jetzt sitzt es.

lg

hagman aktiv_icon

15:15 Uhr, 22.02.2010

Eigentlich sollte "ein Grenzwert existiert" nur bei Konvergenz gegen einen endlichen Wert verwendet werden. In präzisen Formuliernugen von l'Hopital heisst es dann im Zweifelsfall immer "Wenn

. .

. gegen einen Wert

c

divergiert oder bestimmt divergiert, dann ist auch

. .

. gegen

c

konvergent bzw. bestimmt divergent".
Man kann allerdings statt

ℝ

die Menge

ℝ \cup {- \infty, \infty}

betrachten und in der liegt tatsächlich Konvergenz vor; aber man muss bei sowas immer vorsichtig sein:
1. Die

ε

-Umgebungen von

+ \infty

und

- \infty

sehen etwas gewöhnungsbedürftig aus
2. Alles was mit Rechnen zu tun hat ist im Zweifelsfall im Unendlichen undefiniert
Tatsächlich muss man bei l'Hopital sich sogar im Klaren darüber sein, dass die Aussage für

lim_{x \to \infty}

nicht unmittelbar so folgt wie bei

lim_{x \to x_{0}}

für endliches

x_{0}

(will sagen: die Aussage gilt, erfordert aber einen gesonderten Beweisschritt)

Kurz: Hier kann man zwar so vorgehen ud die Aussage bleibt richtig, aber man sollte sich nicht daran gewöhnen, dass so etwas selbstverständlich ist.

CKims aktiv_icon

15:31 Uhr, 22.02.2010

ahhh...

danke hagman. hatte mich naemlich gerade noch gefragt, wieso das "Grenzwert existiert" beim differentialquotienten eine andere bedeutung haben muss, da dort eine bestimmte divergenz nicht ausreichen wuerde. diese frage waere nun mit dieser antwort geklaert.

schoenen tag noch

moklok

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