Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Warum ist lim I f(x) I = 0 gleich lim f(x) = 0

Warum ist lim I f(x) I = 0 gleich lim f(x) = 0

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, limes Betrag

Fanatiker aktiv_icon

10:53 Uhr, 04.12.2016

Warum ist

lim I f (x) I = 0

dasselbe wie

lim f (x) = 0

?

Der Betrag von etwas heisst doch nichts anderes wie Fallunterscheidung zwischen:

1.

f (x)

und
2.

- f (x)

Nur jetzt stehe ich auf den Schlauch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

DrBoogie aktiv_icon

10:55 Uhr, 04.12.2016

lim f (x) = 0

bedeutet per Definition

∣ f (x) ∣ < ε

für ...
Siehst Du den Betrag? Du bekommst ihn "geschenkt" in diesem Fall.

Fanatiker aktiv_icon

11:02 Uhr, 04.12.2016

Kann das noch nicht ganz nachvollziehen.

Ich hätte jetzt als erstes versucht über den links- und rechtsseitigen Grenzwert zu gehen (wg. dem Betrag) und wenn diese übereinstimmen, dann ist auch

lim f (x) = 0

oder nicht?

DrBoogie aktiv_icon

11:08 Uhr, 04.12.2016

Noch mal.
Die Definition:

lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0

<=>

\forall ε > 0 \exists δ > 0

, so dass für

x \in (x_{0} - δ, x_{0} + δ) \ {x_{0}}

gilt

∣ f (x) ∣ < ε

.

Das ist die Definition, also die ultimative Wahrheit. :-)

Wenden jetzt diese Definition auf die Funktion

g (x) := ∣ f (x) ∣

lim_{x \to x_{0}} ∣ f (x) ∣ = 0

<=>

\forall ε > 0 \exists δ > 0

, so dass für

x \in (x_{0} - δ, x_{0} + δ) \ {x_{0}}

gilt

∣ ∣ f (x) ∣ ∣ < ε

.

Und da

∣ ∣ f (x) ∣ ∣

natürlich dasselbe ist wie

∣ f (x) ∣

, haben wir absolut identische Bedingungen für

f

und

∣ f ∣

DrBoogie aktiv_icon

11:08 Uhr, 04.12.2016

"und wenn diese übereinstimmen, dann ist auch limf(x)=0 oder nicht"

Ja, aber das ist keine Definition.
Und in diesem Fall ist es besser, direkt Definition zu nutzen.

Fanatiker aktiv_icon

11:19 Uhr, 04.12.2016

Vielen Dank! Ich habe grade gar nicht über die Definition nachgedacht, ich war so vertieft im links- und rechtsseitigen Grenzwert. Der Weg ist nachvollziehbar.

1340970

1340957

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?