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Warum unmöglich?
Schüler
Tags: Hippokrates, Kreis, Quadratur des Kreises
 
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1. Man ziehe einen beliebigen Kreis. 2. Man schneidet den Mittelpunkt des Kreises mit einer Geraden. 3. Nun zeichnet man mit Hilfe des Zirkels eine Gerade so durch den Mittelpunkt des Kreises, das vier Winkel (90°)entstehen. ( Es ist also ein Kreuz im Kreis „+“) 4. Nun zeichnet man wieder mit Hilfe des Lineals zwei Diagonale durch den Mitelpunkt des Kreises. 5. Jetzt zieht man von den Schnittpunkten zwischen Kreis und Diagonalen, jeweils eine Gerade und erhält so ein Quadrat welches aus vier kleineren Quadraten besteht. 6. Jetzt zeichnet man rechts neben die beiden oberen Quadrate ein drittes, dessen Diagonale dem Kreisradius entspricht, man sollte also oben drei kleine Quadrate nebeneinander liegen haben. 7. Den Zirkel setzt man auf die linke untere Ecke des eben gezeichneten kl.Quadrates bzw. auf die rechte untere Ecke des mittleren Quadrates und stellt seine Mine auf den Mittelpunkt des rechten Quadrates ein ( man hat vorher zwei Diagonale gezogen), nun kann man die untere waagrechte Seite des kl. Quadrates mit dem Zirkel schneiden. 8. Dies macht man auf jeder Seite von Quadrate A und verbindet die erhaltenen Punkte mit einander und erhält ein neues Quadrat B. 9. Quadrat scheidet von Quadrat A insgesammt vier kleine Dreiecke ab. Nun stellt man den Zirkel auf die Länge der Kathete von so einem kleinen Dreicke ein. . Mit dem eingestelten Zirkel zieht man einen Kreis um den Mittelpunkt des Kreises. . Aus den Punkten die der neue Kreis auf den Diagonalen geschnitten hat, konstruiert man ein Quadrat C. . Nun setzt man die Spitze des Zirkels in die Mitte der linken Senkrechte von Quadrat A und stellt die Mine des Zirkels auf die Mitte der linken Senkrechte (linke Aussenseite) von Quadrat ein. . Man ziehe einen Kreis. Dieser Kreis hat nun einen Punkt erzeugt, der etwas ausserhalb der Spitzen von Quadrat liegt. Dies macht man auf allen Seiten von Quadrat A. . Wenn man nun diese vier Punkte verbindet, so hat man den Kreis quadriert! Es ist deshalb möglich, weil die Fläche zwischen dem Hippokratischen Möndchen und dessen Flächen gleichem Dreick die Hälfte, eben dieses Dreicks ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade |
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Und was ist bitteschön deine Frage? |
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Ich wundere mich halt, warum es ein Beweis gibt, der Besagt, dass die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich sei, wo sie doch möglich ist. Warum? |
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Wenn man ein Quadrat mit der Seitenlänge und ein Kreis mit dem Radius hat, ist die Quadratur des Kreises theoretisch möglich, praktisch jedoch nicht, weil man die Seitenlänge nicht mit ABSOLUTER Genauigkeit zeichnen kann.Das gilt nur, wenn man, wie schon gesagt, das Ganze genau zeichnen kann. |
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Die Lösung liegt da und doch wird sie negiert. Ich kann doch auch eine Diagonale in ein Quadrat einzeichnen! |
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Wie du aus der Illustration sehen kannst, entspricht der Durchmesser NICHT der Diagonale. Eben in dieser Zeichnung soll die Quadratur des Kreises abgebildet werden und das ist eben nur ungefähr gezeichnet, weil der Computer nicht die unendlich viele Nachkommastellen der irrationalen Zahl berücksichtigen kann. |
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ist nicht algebraisch, sondern transzendent. Deshalb ist nicht konstruierbar und die Quadratur des Kreises unmöglich. |
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Die Unmöglichkeit kann ich auch rechnerisch nachweisen. Der Flächeninhalt des Quadrats ist Der Flächeninhalt des Kreises ist Das ist ein Widerspruch, weil nicht als Quotient zweier Zahlen dargestellt werden kann und daher ist die Quadratur des Kreises unmöglich. |
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weil nicht als Quotient zweier Zahlen dargestellt werden kann Ist nicht ganz richtig. kann lediglich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. . |
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Schaue dir bitte genauer an. a und sind zwei ganze Zahlen und nicht auf beiden Seiten steht die Zahl . Außerdem, was du gezeigt hast, ist, dass etwas ziemlich logisches. |
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Aber mich interessiert doch überhaupt nicht, es spielt keine Rolle was es für eine Zahl ist, denn und das ist der Punkt, die Fläche zwischen Hippokratischem Möndchen und dessen adäquaten Dreieck, ist gleich die Hälfte des Möndchens. Daraus folgt, ich muss dieses halbe Dreick auf Quadrat A "legen" damit ein neues Quadrat entsteht, dieses aber schneidet etwas (vier Dreiecke)von Quadrat A ab und diese fehlen der Fläche des Quadrates (Quadrat ist um soviel kleiner als die Fläche des Kreises), wie ich diese vier Dreiecke in die Fläche integriere ist oben beschrieben. Daraus ergibt sich doch wohl dass es möglich ist. Natürlich kann man es nicht messen, aber das Lineal ist doch sowieso unskaliert. |
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"a und sind zwei ganze Zahlen und nicht auf beiden Seiten steht die Zahl pi" Aha und warum sollte a eine ganze Zahl sein? Wenn man mit keinem ein herstellen kann. Einer der beiden Zahlen wird immer nicht der Menge der ganzen Zahlen angehören. "Außerdem, was du gezeigt hast, ist, dass etwas ziemlich logisches" Damit habe ich nur gezeigt, dass dieser (von dir zitierter) Satz in die Mülltonne gehört: weil nicht als Quotient zweier Zahlen dargestellt werden kann |
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Vielleicht hast du nicht gewusst, dass eine irrationale Zahl ist und dass sie in der Menge der REELLEN Zahlen und nicht der natürlichen, ganzen oder gar rationalen Zahlen ist. Eine rationale Zahl ist . oder weil sie als Quotient zweier Zahlen dargestellt werden können, aber bei kann man das nicht so schreiben. Man kann eine ungefähr gleich große Zahl schreiben: . . Bei . kannst du die 2 wegkürzen und es bleibt nur ja das stimmt. Nur ohne weiteres wüsste man trotzdem nicht, wieviel ungefähr ist. Man weiß nur, wie ich schon geschrieben habe, dass ist. |
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Selbstverständlich weiß ich, dass irrational (und sogar transzendent) ist. Wieso du das nun erwähnst hingegen nicht. |
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Wenn ich ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 Zeichne, so kann ich doch eine Diagonale einzeichnen, welche die Seitenlänge der Quadratwurzel von 2 hat! Das Quadrat hat mir also die Punkte vorgegeben und ähnlich funktioniert es auch für ein Quadrat, welches die Fläche eines Kreises hat. Wenn man nun sagt: "Nein das ist unmöglich." sagt man doch zugleich, ein Quadrat zu zeichnen wäre unmöglich, oder? |
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ist algebraisch und nicht transzendent. hingegen ist transzendent und nicht algebraisch. Da liegt der entscheidende Unterschied. http//de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl http//de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl |
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Das riecht verdächtig nach dem Goldbach-Thread. Shipwater: Ich glaube nicht, dass dein algebraisches Argument verstanden wurde. Vielleicht willst du die Begriffe "transzendent" und "algebraisch" ein wenig ausführen; die Begriffe alleine nutzen jemandem nicht, wenn er nicht mit der Algebra vertraut ist. Und mit der Algebra vertraut zu sein, ist keine Vorraussetzung um sich mit dem Problem der Quadratur des Kreises zu beschäftigen. EDIT: Ah, jetzt hast du ja noch die Links hinzugefügt ;-). |
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@Shipwater, de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl |
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Was soll denn jetzt dieser Link? Dass irrational ist sollte wohl jeder wissen. Der entscheidende Punkt hingegen liegt alleine in der Transzendenz von . ist auch irrational, aber eben algebraisch und deswegen konstruierbar. ist transzendent (und somit auch irrational) und deswegen nicht konstruierbar. de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl "Die Transzendenz von die von Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde, ist auch der Grund für die Unlösbarkeit der Quadratur des Kreises mittels Zirkel und Lineal." |
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Die Konstrktion ist etwas ungenau beschrieben, vor allem wurde aber nicht die Flächengleichheir *bewiesen* (geht ja auch nicht) 1. OK gegeben sei ein Kreis . Der Einfachheit halber in Koordinaten: Der Einheitskreis um . Dieser hat die Fläche 2. Der Mittelpunkt ist laut 1. noch nicht unmittelbar gegeben, lässt sich aber klassisch konstruieren, wir haben ihn ja ohnehin koordinatenmäßig bereits auf gesetzt. Die Gerade sei die x-Achse 3. Dann wohl die y-Achse 4. Die Geraden sowie (anders als angegeben geht dies nicht mit dem Lineal allein, sndern erfordert auch den Zirkel) 5. Die Schnittpunkte sind in allen vier Vorzeichenkombinationen. Als Abkürzung sei sqtr(2). Dann haben wir also . Wir bemerken: 6. Die Ecken des kleinen Quadrates sind 7. Die Diagonale des kleinen Quadrates ist entspricht ja auch dem Kreisradius. Daher wird der Kreis um vom Radius mit der x-Achse geschnitten. Der gesuchte Schnittpunkt ist dann wohl 8. (Man kann auch einfach den Kreis um durch den Punkt aus 7. mit den Achsen schneiden) Die Ecken von sind also 9. Der Schnittpunkt der Geraden mit der Geraden liegt bei . Die Kathetenlänge ist also . Gezeichnet wird der Kreis um vom Radius . Die Ecken von Quadrat sind usw. . mit allen Vorzeichenvariationen) . ist der Kreis um durch also vom Radius . Es ist nicht klar, wie der Kreis aus einen Punkt erzeugt. Vermutlich als Schnittpunkt mit der x-Achse. Dann wäre es der Punkt . Die anderen Punkte sind und . . Die Fläche des entstehenden Quadrates ist Das ist noch nicht einmal eine besonders tolle Näherung für . |
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Verdammte Hacke du hast recht, mein Wert ist auch . Danke für deine Mühe. Aber so schlecht ist der Wert doch gar nicht:-( |
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Wenn man allerdings den Umfang von mit vier dividiert (bei hagman’s Punkt 10.)und mit der Hälfte der X-Achse addiert, ergibt sich oder würde sich ein Quadrat ergeben welches die Fläche: hätte. Dies wäre konstruierbar, natürlich nicht . aber eine gute Näherung, denn es würde ja mit beliebigen Kreisen gehen. |
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