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Was ist der Grenzwert der Folge?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

hamblepvp

14:38 Uhr, 26.11.2022

Hallo,

die Aufgabe lautet wie folgt:
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

v_{n} = {x_{n}}^{- 2} \cdot e^{- \frac{1}{{x_{n}}^{2}}}

wobei

(x_{n})_{n}

eine streng positive Folge ist, die gegen 0 konvergiert.

Mein Ansatz:

l i m ({x_{n}}^{- 2}) = \frac{1}{{x_{n}}^{2}} = \frac{1}{0} = \infty

l i m (e^{- \frac{1}{{x_{n}}^{2}}}) = e^{l i m (- \frac{1}{{x_{n}}^{2}})} = e^{- \infty} = 0

Nun bin ich etwas verwirrt, da

0 \cdot \pm \infty

keine Aussage über den Grenzwert von

v_{n}

machen kann ... Was nun?

Vielen Dank,
Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

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\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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HAL9000

15:01 Uhr, 26.11.2022

Aus

lim_{n \to \infty} x_{n} = 0

folgt

lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_{n}^{2}} = \infty

, daher geht es hier via Substitution

t = \frac{1}{x_{n}^{2}}

de facto um die Berechnung des Grenzwertes

lim_{t \to \infty} t e^{- t}

hamblepvp

15:07 Uhr, 26.11.2022

Ahh okay dann haben wir

\infty \cdot - \infty

... und was sagt das aus? Dass es divergiert?

HAL9000

15:17 Uhr, 26.11.2022

Verwende bitte Grenzwertregeln, die auch seriös sind wie z.B. L'Hospital, statt ständig über einen Unsinn wie

0 \cdot \infty

zu philosophieren.

hamblepvp

15:20 Uhr, 26.11.2022

Das ist mein allererster Kontakt mit Folgen und Grenzwerten, L'Hospital dürfen wir nicht verwenden (und ich weiß auch nicht, was das ist). So wurde es bei uns eingeführt. Also was ist jetzt die Bedeutung der Aussage, die du als Lösung darstellst? Helfen tut es nicht.

HAL9000

15:24 Uhr, 26.11.2022

Ich halte nichts von diesen Verboten. Dann sieh zu, wie du anderweitig

lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = 0

beweisen kannst, vielleicht über Reihenentwicklung der Exponentialfunktion - aber vielleicht ist die ja auch "verboten"...

hamblepvp

15:39 Uhr, 26.11.2022

Tut mir leid, mein Fehler. Jetzt habe ich verstanden, was du meinst.
Vielen Dank,
Grüße

calc007

17:00 Uhr, 26.11.2022

Hallo
einfach zum Lernen, Üben, Weiterkommen:

lim_{x \to 0} v_{n} = \frac{1}{lim (x^{2}) \cdot (e^{\frac{1}{x^{2}}})}

Das heisst, du hast im Nenner eine Multiplikation
einer Potenzfunktion

x^{2}

(richtig - die geht gegen Null)
und einer Exponentialfunktion e^irgendwas (richtig - die geht gegen Unendlich).

Welche von beiden dominiert?

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