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Was ist der Grenzwert zu (n!)^1/n

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Hft678 aktiv_icon

21:32 Uhr, 30.12.2015

Also ich suche nachdem Grenzwert von der n-ten Wurzel von

n!

. Laut Rechner kommt unendlich als Grenzwert für

n

gehen unendlich. Aber mein Ansatz wäre dass man die Gleichung zu

\frac{{(n!)}^{1}}{n}

umschreibt und

\frac{1}{n}

läuft ja gegen 0. Also steht dort

{(n!)}^{0} = 1

.
Hat jemand einen neuen Ansatz für mich
Mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Awkward aktiv_icon

21:37 Uhr, 30.12.2015

Du kannst deinen Term in Wolfram Alpha eingeben. Dies bietet dir einige Ergebnisse, welche für dich interessant sein könnten ;)

www.wolframalpha.com/input/?i=%28n%21%29%5E%281%2Fn%29&lk=4&num=1&lk=4&num=1

lg Sven

Awkward aktiv_icon

21:52 Uhr, 30.12.2015

Also das mit dem Umformen, bin ich mir nicht sicher ob das richtig ist. Deine Umformung stellt ja eigentlich dies da : (n!)^(1)*n^(-1)

Dies hat nichts mehr mit der n-Wurzel zu tun. Jedoch weis ich nicht ob ich mit meiner Vermutung recht habe ^^ Lg Sven

DrBoogie aktiv_icon

22:16 Uhr, 30.12.2015

Mit der Stirling-Formel:

n! \sim \sqrt{2 π n} \cdot (\frac{n}{e})^{n}

sieht man sofort, dass

\sqrt[n]{n!} \to \infty

geht.

IPanic aktiv_icon

16:33 Uhr, 01.01.2016

Um zu zeigen, dass die

\sqrt[n]{n!}

bestimmt gegen unendlich divergiert muss gelten:

Sei

M > 0

vorgegeben, dann ist

\sqrt[n]{n!} > M

für alle

n \geq n 0

Das ist äquivalent dazu, dass

\frac{M^{n}}{n!} < 1

ist für alle

n \geq n 0

Wähle nun

n \geq n 0 \geq 2 M :

Dann ist

\frac{M^{n}}{n!} = \frac{M^{n 0}}{n 0!} \cdot \frac{M}{n 0 + 1} \cdot (\dots) \cdot \frac{M}{n}

Die Anzahl der Faktoren die

\frac{M^{n 0}}{n 0!}

folgen ist gerade

(n - n 0)

und all diese Faktoren sind

\leq \frac{1}{2}

n 0 \geq 2 M

Nun können wir das ganze nach oben abschätzen durch

\frac{M^{n 0}}{n 0!} \cdot \frac{1}{2^{n - n 0}} = \frac{M^{n 0}}{n 0!} \cdot 2^{n 0 - n} = \frac{{(2 M)}^{n 0}}{n 0!} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

Unter dem Wissen, dass

lim n^{r} \cdot {| z |}^{n} = 0

für alle

| z | < 1,

folgt, dass auch

\frac{{(2 M)}^{n 0}}{n 0!} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} < 1

ist und das wollten wir gerade zeigen, denn dann ist auch

\frac{M^{n}}{n!} < 1

.

fyi: in unserem beispiel ist

n^{r} = {(\frac{{(2 M)}^{n 0}}{n 0!})}^{1}

(ein konstanter Faktor)

Wähle dann

n 1

so , dass für alle

n \geq n 1, n \geq (\frac{{(2 M)}^{n 0}}{n 0!})

ist, dann ist der oben genannte Grenzwert anwendbar für gewisse

n \geq n 1

.

Nun definiere

n 2 :=

Index ab dem

\frac{{(2 M)}^{n 0}}{n 0!} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} < \frac{1}{2}

Anschließend definiere

n 3 := max {n 1, n 2}

.
Für alle

n \geq n 3

ist nun

\sqrt[n]{n!} > M

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