Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wegintegral

Wegintegral

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Kreis, Vektorfeld

Eleonora71 aktiv_icon

14:22 Uhr, 24.06.2016

Gegeben sei:

(1)

ein Kreis mit Radius

R,

(2)

ein Vektorfeld

\vec{F} (\vec{x}) = x y \bar{x} + y \bar{y}

(das sollen Hütchen über dem

x

stehen. Was ist damit eig gemeint? Der Einheitsvektor ist mir in dieser Notation eig nur bekannt, aber das ergibt keinen Sinn)

Bestimmen Sie das Wegintegral

\int_{W e g \vec{x} (t)} \vec{F} (\vec{x}) d \vec{x}

entlang eines Kreises. Start- und Endpunkt des Weges soll der Punkt

{\vec{x}}_{0} := (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

sein.

Definiert ist ja das Wegintegral allgemein durch:

\int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (r (t)) \cdot | r' (t) | d t

Bevor ich jetzt erstmal meine Parametrisierung in mein Vektorfeld einsetze und dann den Betrag der Ableitung meiner Parametrisierung bilde, brauche ich ja zuerst die Parametrisierung. Wie kann ich jetzt die Parametrisierung finden?

Der Startpunkt muss gleich dem Endpunkt sein. Wie geht das? Mir ist vor allem nicht ganz klar wie das Vektorfeld mit dem Kreis in Beziehung steht. Eine Erklärung wäre hilfreich.

Thanks,

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels

Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels?

Elementare Kreisteile

Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Kreissegments und eines Kreissektors?

Flächeninhalt eines Kreisrings

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Kreis - Umfang und Inhalt

Wie berechne ich den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?

Kreiszahl Pi

Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

DerDepp aktiv_icon

15:45 Uhr, 24.06.2016

Hossa :-)

Mit dem Dach ist der Einheitsvektor gemeint. Das Vektorfeld sieht also so aus:

\vec{F} = x y \cdot {\vec{e}}_{x} + y \cdot {\vec{e}}_{y} = (\begin{array}{c} x y \\ y \end{array})

Einen Kreis beschreibst du am besten mit Polarkoordinaten:

\vec{r} (ϕ) = (\begin{array}{c} r \cos ϕ \\ r \sin ϕ \end{array}); r = 1; ϕ \in [0; 2 π]

In deinem Fall liefern die Randbedingungen

r = 1

und

ϕ \in [0; 2 π]

. Der Weg entlang der Kreisbahn wird also durch einen festen Radius

r

und einen variablen Winkel

ϕ

zwischen dem Radiusvektor

\vec{r} (ϕ)

und der x-Achse beschrieben.

Das Wegintegral ist physikalisch die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um ein Objekt auf einer bestimmten Bahnkurve durch ein Kraftfeld zu bewegen. Du kannst also in das Kraftfeld die

x -

und

y -

Koordinate entlang des Weges eintragen:

\vec{F} = (\begin{array}{c} \cos ϕ \sin ϕ \\ \sin ϕ \end{array})

Jetzt siehst du, dass das Kraftfeld

\vec{F}

nur noch von einem Parameter, nämlich dem Winkel

ϕ

abhängt. Daher bietet es sich an, über den Winkel

ϕ

zu integrieren. Dazu brauchst du die Substitution

d \vec{r} = \frac{d \vec{r}}{d ϕ} d ϕ = (\begin{array}{c} - \sin ϕ \\ \cos ϕ \end{array}) d ϕ

Jetzt kannst du das Integral zusammenbauen:

W = \int_{{\vec{r}}_{1}}^{{\vec{r}}_{2}} \vec{F} d \vec{r} = \int_{0}^{2 π} (\begin{array}{c} \cos ϕ \sin ϕ \\ \sin ϕ \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - \sin ϕ \\ \cos ϕ \end{array}) d ϕ = \dots

Die Freude an der Berechnung möchte ich dir nicht nehmen... ;-)))

Eleonora71 aktiv_icon

17:30 Uhr, 24.06.2016

Hossa, Hossa, muchas gracias para el antwort :-P)

Mir sind zwei Stellen unklar. Wieso wird

r = 1

angenommen? Wir müssen einfach einen festen Radius wählen damit man genau parametrisieren kann, oder?

Ich meine die Parametrisierung passt

r (0) = r (2 π) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

dann. Dann setzen wir in unserem Vektorfeld die Parametrisierung ein, aber dann erkenne ich nicht wo du den Betrag der Ableitung bildest sprich:

| r' (ϕ) |

Ich meine die Ableitung wurde ja gebildet und eingesetzt, doch mir ist nicht ersichtlich wo der Betrag in dem Fall zu Stande kommt?

Gruß,

Elena

DerDepp aktiv_icon

19:10 Uhr, 24.06.2016

Der Radius muss fest sein, damit du einen Kreis hast. Würde sich der Radius ändern, hättest du so was wie eine Spirale, Ellipse... Die Reise auf deiner Kreisbahn startet am Punkt

(1, 0)

, also muss der Radius des Kreises

r = 1

sein.

Du hast die Definition eines Kurvenintegrals erster Art hingeschrieben. Sie gilt für Funktionen

f : ℜ^{n} \to ℜ

. Hier handelt es sich aber um ein Kurvenintegral zweiter Art für Funktionen

f : ℜ^{n} \to ℜ^{n}

(mit

n = 2

im konkreten Fall). Deswegen kommt in der Rechnung kein Betrag vor.

Guckst du hier:
de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral

Eleonora71 aktiv_icon

19:43 Uhr, 24.06.2016

Hallo,

ahso das ist mir nicht aufgefallen. Ich kann aber auch nicht wirklich nachvollziehen wieso das so ist? Woran erkenne ich es aber wenn ich es nicht explizit angegeben habe?

Elena

DerDepp aktiv_icon

19:52 Uhr, 24.06.2016

Wenn du über ein Vektorfeld integrieren sollst, ist ein Wegintegral 2-ter Art. Wenn du über ein Skalarfeld integrieren sollst, ein Wegintegral 1-ter Art.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1314161

1314103

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?