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Welche Regel bzgl. Grenzwerten gilt hier?
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Grenzwert, lim
 
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Hallo, übe gerade für eine Klausur, und bin auf ein Problem gestoßen. Ich kann die Lösung im Bild nicht nachvollziehen. Ich kenne ein paar "Regeln" bzgl. Limes, aber so richtig haben wir es in der Schule nicht gelernt. Mein Lehrer meint, das sieht man doch, wenn man sich das vorstellt, ich brauche aber klare Regeln. Die Regel von l'hopital lässt sich nicht anwenden, weil beim Einsetzten oben unten 0 rauskommt, wenn man ss einsetzt. Aber der Zählergrad ist ja gleich den Nennergrad, deswegen dachte ich, kann ich anhand der Koeffizienten auf die waagrechte Asymptote schließen, und die ist ? Ich dachte das heißt, es läuft auch für gegen aber anscheinend nicht. Beim gezeichneten Funktionsgraphen geht es auch gegen Unendlich, aber was ist die Regel dahinter? Und was meint die Lösung, mit "existiert also nicht"?? VG!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Kennst du die h-Methode? . zusammenfassen und gegen 0 gegen lassen Der Fehler liegt in deiner Annahme, dass du bei → den Grenzwert anhand der Koeffizienten (die die du erwähnt hast) bestimmen kannst. Diese Regel gilt nur für Grenzwerte, wenn gegen ±∞ geht. |
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Als Faustregel: Einsetzen von x=-2 ergibt , damit sieht man, dass der Grenzwert nicht existiert (Folge ist unbeschränkt). Für einen Nachweis kannst Du eine konkrete Folge, z.B. einsetzen und leicht sehen, dass dafür auch die Folge unbeschränkt ist. Unbeschränkte Folgen konvergieren nicht, deren Grenzwert existiert also nicht. Es gibt das Konzept des "uneigentlichen Grenzwerts", das kann dann auch oder sein. Schau mal nach, ob Ihr das im Unterricht hattet. Dann muss man den Nachweis entsprechend der Def. (siehe Unterricht) führen. Es kommt darauf an, wie die Aufgabe lautet, die hast Du nicht mitgeliefert. |
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Wenn ich mal trivialwissenschaftlich "existiert nicht" in Umgangssprache übersetzen darf: Dat gibt's nicht. Es gibt keine Grenze, . keinen Grenzwert, den du hier benennen könntest. Nimm irgendeine riesige Zahl: . eine Million. Nee, zu klein. Der Funktionswert steigt über eine Million. Nimm irgendeine riesige Zahl: . eine Milliarde. Nee, zu klein. Der Funktionswert steigt über eine Milliarde. Nimm irgendeine riesige Zahl: . eine Billion. Nee, zu klein. Der Funktionswert steigt über eine Billion. Nimm irgendeine riesige Zahl: . eine Zentiliarde. Nee, zu klein. Der Funktionswert steigt über eine Zentiliarde. . Das bedeutet 'ein Grenzwert existiert nicht'. |
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Formaler Beweis: Zeige, dass es für alle ein gibt, sodass für alle gilt. Das tun wir nun. Für beliebig wähle . Dann gilt für alle . |
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> Es gibt das Konzept des "uneigentlichen Grenzwerts", das kann dann auch oder sein. Wobei zu betonen ist, dass man im Falle solcher Grenzwerte (?!) bzw. von "bestimmter Divergenz" spricht. Und das ist wohldurchdacht: Echte Konvergenz in gibt es nur gegen reelle Grenzwerte, und sowie sind keine reellen Zahlen. Es hat sich nur eben die Schreibweise bzw. für diese bestimmte Divergenz eingebürgert. Anders sieht es aus, wenn man die Konvergenz in dem metrischen Raum (versehen mit einer passenden Metrik) betrachtet, dann wird aus der bestimmten Divergenz in tatsächlich eine Konvergenz in gegen die nun ja doch im Raum enthaltenen Elemente oder . Derartige Betrachtungen gehen aber über die Schulmathematik hinaus. |
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Analog noch ein Beweis, dass an linksseitig bestimmt divergent gegen ist. Für beliebig wähle . Dann gilt für alle . |
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