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Wendetangente, extremaler Flächeninhalt Dreieck

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Flächeninhalt, Wendetangente

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19:28 Uhr, 25.01.2011

Hallo!
Folgende Frage: Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft(x)

= (x + t) \cdot e^{- x} .

Die Wendetangente begrenzt mit den positiven Achsen ein Dreieck. Ermitteln Sie für

t < 4

den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Für welchen Wert

t

wird der Flächeninhalt extremal?

Mein Ansatz bis hierhin: WP

(- 2; 2 \cdot e^{t - 2})

. .

. und jetzt

m,

also den Anstieg an der Stelle

x = - 2

ermitteln: Der ist

m = - (t - 3) \cdot e^{2}

(\to - 2

habe ich in die erste Ableitung ft'(x)

= - (x + t - 1) \cdot e^{- x}

eingesetzt.)
Das

n

in der Tangentengleichung

t = m \cdot x + n

könnte ich dann notfalls auch noch bestimmen. Aber wie muss ich dann vorgehen?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:01 Uhr, 25.01.2011

f_{t} (x) = (x + t) \cdot e^{- x}

f_{t}' (x) = - e^{- x} (x + t - 1)

f_{t}'' (x) = e^{- x} (x + t - 2)

e^{- x} (x + t - 2) = 0 \Leftrightarrow x + t - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 - t

Wie kommst du auf

x = 2

als Wendestelle?

Gruß Shipwater

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20:22 Uhr, 25.01.2011

Ach, aus dem Beispiel

(x + 4) \cdot e^{- x} . .

. bin grad ein bisschen konfus...

Der Anstieg an der Wendestelle

2 - t

ist also

m = - e^{t - 2} .

n

berechnen zu können, gilt:

2 \cdot e^{t - 2} = (- e^{t - 2}) \cdot (- t + 2) + n

n = - t \cdot e^{t - 2} + 4 \cdot e^{t - 2}

und die Tangente heißt

t = (- e^{t - 2}) \cdot x + (- t \cdot e^{t - 2} + 4 \cdot e^{t - 2});

hoffe, jetzt stimmt's so weit erst einmal :-)

Die Aufgabe gefällt mir irgendwie nicht so richtig...

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20:41 Uhr, 25.01.2011

Wendetangente

t : y = - e^{t - 2} \cdot x + e^{t - 2} (4 - t) = e^{t - 2} (4 - t - x)

Die Wendetangente begrenzt mit den positiven Achsen ein rechtwinkliges Dreieck. Bestimme also die Katheten dieses Dreiecks und stelle dann die Formel für den Flächeninhalt auf.

Gruß Shipwater

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20:59 Uhr, 25.01.2011

In etwa so: