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Wie berechne ich die Dicke?

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Flächeninhalt

Kreis

Umfang

Tags: Flächeninhalt, Kreis, Umfang

-Louisa- aktiv_icon

12:46 Uhr, 30.11.2010

Folgende Aufgabe:

Die Kugel auf einer Kirchturmspitze hat einen Durchmesser von 38cm. Sie wird mit

10 g

Gold vergoldet. 1cm³ wiegt

19.3 g

. Wie dick ist die Goldschicht?

Ich hätte sogar 2 Lösungsansätze.. aber die Ergebnisse sind so unrealistisch..

Möglichkeit 1: durch Kugeloberfläche
0kugel:

4 \cdot

(19cm)²

\cdot π

Vgoldschicht:

\frac{10}{19} . 3

cm³

4 \cdot

(19cm)²

\cdot π \cdot h = \frac{10}{19} . 3

cm³
wenn ich dann nach

h

auflöse komt

4536.5

raus :-D) eher unmöglich ;-)

Möglichkeit

2 : V

mit goldschicht

- V

ohne goldschicht

Da kommt aber wieder was ganz komisches raus

- . -

Hilfe, bitte :-)

Grüße,
Lou

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Edddi aktiv_icon

12:58 Uhr, 30.11.2010

...also ganz ruhig...

Du hast die Dichte von Gold und dessen Masse gegeben.

Damit kannst du schonmal das verwendete Goldvolumen ausrechnen.

Jetzt zur Kirchturmkugel. Die hat ein Volumen von

V_{K} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}

Dabei ist

R = \frac{D}{2}

der radius der Kugel!

Jetzt tragen wir auf die Kugel das Gold auf. Und zwar

x

cm dick!

Dann hast du danach ein Volumen von

V_{G} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(R + x)}^{3}

Das Gesamtvolumen der Kugel hat also um die Differenz:

V_{G} - V_{K} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(R + x)}^{3} - \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot ({(R + x)}^{3} - R^{3})

zugenommen.

Und diese Zunahme ist eben das Volumen des Goldes:

\frac{4}{3} \cdot π \cdot ({(R + x)}^{3} - R^{3}) = \frac{m_{G}}{ρ_{G}}

...nun einfach nach

x

umstellen!

;-)

DerCommander aktiv_icon

13:10 Uhr, 30.11.2010

der 2. ansatz ist goldrichtig. btw, tolles wortspiel.
wie sieht denn dein ansatz für 2. aus?

oh sorry, habe nicht gesehen, dass schon geantwortet wurde.

-Louisa- aktiv_icon

13:22 Uhr, 30.11.2010

Okey, danke für die ausführliche Antwort ;-)

.. =mG/ρG

gerade den letztes Schritt vertehe ich nicht ganz.. Wie löse ich denn aus dieser Gleichung nach

x

auf?

x = \frac{4}{3} π

(R³-R³)... das macht doch keinen Sinn?? aaah

- . -

BeeGee aktiv_icon

14:12 Uhr, 30.11.2010

Keep it stupid and simple :-)

Wenn wir davon ausgehen, dass die ganze Kugel vergoldet wird, rechnest Du die Oberfläche der Kugel aus - wie Du bereits geschrieben hast:

O = 4 \cdot π \cdot r^{2}

Außerdem hast Du das Volumen des Goldes:

V = \frac{m}{ρ}

Also ist die Dicke:

d = \frac{V}{O}

(stelle Dir das Gold als Quader mit Grundfläche

O

ausgewalzt vor)

Edddi aktiv_icon

14:24 Uhr, 30.11.2010

...wir brauchen die Oberfläche nicht!

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot ({(R + x)}^{3} - R^{3})

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot (R^{3} + 3 \cdot R^{2} \cdot x + 3 \cdot R \cdot x^{2} + x^{3} - R^{3})

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot (3 \cdot R^{2} \cdot x + 3 \cdot R \cdot x^{2} + x^{3})

Das Volumen des Goldes berechnen wir aus Dichte und Masse:

V = \frac{m}{ρ} = \frac{10 g}{19,3 \frac{g}{c m^{3}}} = 0,1518 ...

Damit muss:

0,1518 = \frac{4}{3} \cdot π \cdot (3 \cdot R^{2} \cdot x + 3 \cdot R \cdot x^{2} + x^{3})

0,1237 = 3 \cdot R^{2} \cdot x + 3 \cdot R \cdot x^{2} + x^{3}

0,1237 = 1083 \cdot x + 57 \cdot x^{2} + x^{3}

x = 0,0001142

x = 0,001142

x = 1,142 μ m

Aber ich denke, ihr sollt keine kubischen Gleichungen lösen, so kannst du also getrost den Rat meines Vorredners annehmen, und das Ergebnis durch besagte Methode annähern.

Allerdings geht sie von dem Ansatz aus, dass das Volumen aus dem Produkt von Fläche mal Höhe gebildet wird, was bei der Kugelschale auf Grund der Krümmung nicht der Fall ist. Jedoch ist die Goldschicht im Vergleich zum Radius sooo dünn, das man diese Formeln für die Praxis sicherlich anwenden kann.

;-)

BeeGee aktiv_icon

14:31 Uhr, 30.11.2010

Klar, man kann sich ja auch ein Loch ins Knie bohren :-)

Das gleiche Ergebnis bekomme ich mit meinem Ansatz aber wesentlich schneller und ohne Gleichungen mit

x^{3}

.

Die Krümmung ist aufgrund der geringen Dicke im Verhältnis zum Radius wirklich vernachlässigbar, und da kann man auf eine kubische Gleichung getrost verzichten.

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