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Wie führt man einen Beweis?

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis

JoMik aktiv_icon

19:40 Uhr, 27.10.2019

Hallo ich arbeite gerade an einem meiner ersten Beweise, jedoch weiß ich nicht wie ich fortfahren soll.

Ich habe folgende Aussage zu beweisen:
Sind

x

und

y

ungerade natürliche Zahlen, dann kann

x^{2} + y^{2}

keine Quadratzahl sein.

Was ich bisher habe ist:

Voraussetzung:
Sind

x

und

y

ungerade natürliche Zahlen.
Also: Für alle

x, y

gilt,

(2 n + 1)

sind Element der natürlichen Zahlen.

(n

ist eine beliebige natürliche Zahl.)

Behauptung:
Dann kann

x^{2} + y^{2}

keine Quadratzahl sein.
Also:

{(2 n + 1)}^{2} + {(2 n + 1)}^{2}

ungleich

m^{2} (m

ist Element der natürlichen Zahlen).

Beweis:

(Hier ist mein Problem ich habe es mit einem Kontrapositionsbeweis versucht.
Also habe ich versucht die Aussage: "Die Summe von zwei geraden natürlichen Zahlen

x, y

ist
eine Quadratzahl."
Also:

2 n^{2} + 2 n^{2} = m^{2}

Jedoch habe ich hier das Problem das ich Quadratzahlen so wie gerade bzw. ungerade Zahlen ausdrücken kann

(2 n + 1

für ungerade und

2 n

für gerade Zahlen).

Bitte helft mir.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

20:18 Uhr, 27.10.2019

Hallo,

1. Du darfst nicht zweimal die gleiche Variable in

(2 n + 1)^{2}

wählen, da die Quadrate auch ungleich sein dürfen.
2. Die Kontraposition der Aussage ist nicht, dass die Summe zweier (Quadratzahlen) gerader Zahlen eine Quadratzahl ist.

So, nun zum Beweis: Dir sollte klar sein, dass eine (natürliche) Zahl (

\geq 1

) genau dann eine Quadratzahl ist, wenn jeder Primfaktor geradzahlig oft vorkommt.

Damit kannst du dir die Summer zweier ungerader Quadratzahlen modulo 4 mal anschauen und daraus deine Schlüsse ziehen.

Mfg Michael

JoMik aktiv_icon

20:48 Uhr, 27.10.2019

Vielen dank für die schnelle Antwort aber ich habe das Gefühl dass ich mich jetzt mit meinen Gedanken im Kreis drehe.
Ich habe den Eindruck dass die Summe von zwei ungeraden Zahlen

^2

immer eine gerade Zahl ergibt.

Leider hat mir der Gedankenanstoß, den sie mir gegeben haben, nicht viel weiter geholfen.

michaL aktiv_icon

21:10 Uhr, 27.10.2019

Hallo,

natürlich ist die Summe zweier Quadrate ungerader Zahlen immer gerade:

(2 a + 1)^{2} + (2 b + 1)^{2} = 4 a^{2} + 4 a + 1 + 4 b^{2} + 4 b + 1 = 2 \cdot (2 a^{2} + 2 a + 2 b^{2} + 2 b + 1)

Das ist nicht die Aufgabe (jedenfalls habe ich aus deinem ersten posting erlesen, dass es darum geht zu beweisen, dass die Summe der Quadratzahlen zweier ungerader Zahlen selbst keine Quadratzahl sein kann).

In der einfacheren "Wenn..., dann..."-Form ausgedrückt:
Seien

a, b \in ℕ

ungerade Zahlen, dann ist

a^{2} + b^{2}

keine Quadratzahl.

Ich kehre noch einmal zu meiner Hilfe von vorhin zurück. Ist dir folgende Aussage bekannt bzw. kannst du die beweisen?

Sei

x \in ℕ_{\geq 1}

. Dann sind äquivalent:
(i)

x

ist eine Quadratzahl.
(ii) Für jede Primzahl

p

gilt:

2 ∣ max {e \in ℕ ∣ p^{e} ∣ x}

, d.h. die Exponent der größten Potenz von

p

, durch die

x

teilbar ist, ist gerade.

Bekannt? Beweisbar?

Mfg Michael

JoMik aktiv_icon

21:33 Uhr, 27.10.2019

Nein diese Beweise sind mir leider nicht bekannt so wie viele weitere.
Dies ist mein erster Beweis es tut mir leid das ich nicht das nötige Fachwissen mitbringe, aber ich hoffe ich finde hier Hilfe

michaL aktiv_icon

22:45 Uhr, 27.10.2019

Hallo,

kann man aber schon in der Schule führen:
(i)

\Rightarrow

(ii):
Ist

y = \prod_{k = 0}^{n} p_{k}^{e_{k}}

, so ist

x := y^{2} = \prod_{k = 0}^{n} p_{k}^{2 e_{k}}

, d.h. die Exponenten in der Primfaktorzerlegung von

x = y^{2}

sind auf jeden Fall gerade.

(ii)

\Rightarrow

(i): Gilt

x = \prod_{k = 0}^{n} p_{k}^{2 e_{k}} = {(\prod_{k = 0}^{n} p_{k}^{e_{k}})}^{2}

, so ist

x

offenbar das Quadrat von

y := \prod_{k = 0}^{n} p_{k}^{e_{k}}

.

Ich hoffe, dass damit alle Unklarheiten beseitigt sind.

Nun also zu deinem Beweis: Insbesondere für den Primfaktor

p = 2

gilt also: Eine gerade Quadratzahl muss damit durch

4 = 2^{2}

16 = 2^{4}

64 = 2^{6}

oder so weiter teilbar sein, d.h. der Primfaktor 2 muss ja ebenfalls geradzahlig oft in der Primfaktorzerlegung des geraden Quadrates vorkommen. Insbesondere muss die Zahl also durch 4 teilbar sein, wenn sie ein gerades Quadrat ist.
Und hier kommt's: Nehmen wir die beiden ungeraden Zahlen

2 m + 1

und

2 n + 1

her, quadrieren sie (

(2 m + 1)^{2} = 4 m^{2} + 4 m + 1

bzw.

(2 n + 1)^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 1

) und addieren das ganze, so erhalten wir

4 m^{2} + 4 m + 4 n^{2} + 4 n + 2

, d.h. das Quadrat ist zwar gerade, aber eben nicht durch 4 teilbar. Genau genommen ist

(2 m + 1)^{2} + (2 n + 1)^{2} \equiv 2

mod 4, woraus eben folgt, dass es keine Quadratzahl sein kann.

Aber: Irgend welche vorausgegangenen Ergebnisse in dieser Richtung müsst ihr doch in der Vorlesung behandelt haben?!?

Mfg Michael

JoMik aktiv_icon

21:01 Uhr, 28.10.2019

Vielen dank für die Antwort jetzt habe ich verstanden warum ich den Beweis nicht verstanden habe. Das Problem lag bei mir das ich nicht gedacht habe das man auch

k^{2}

als gerade Zahl darstellen soll und dass ein Widerspruchsbeweis, klappt wenn ein Rechenfehler im Beweis "erzwungen" wird

(\in

diesem Fall das

\frac{1}{2}

nicht in

N

liegt).

Auch danke ich für den Verweis an den Beweis für Quadratzahlen. Sowas haben wir tatsächlich nicht in der Vorlesung besprochen.
Jedoch habe ich heute im Tutorium gemerkt wie ein Widerspruchsbeweis funktioniert.

Danke für die Hilfe und einen schönen Abend noch.

MfG JoMik

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