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Wie untersuche ich bei der geg. Folgen Konvergenz?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: divergenz, Exponentialfolge, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

BennixXxAmber aktiv_icon

20:45 Uhr, 14.11.2018

Die Folge

a_{n}

(siehe Bild) muss auf Konvergenz bzw. uneigentliche Konvergenz untersucht werden. Ich bin etwas verwirrt, da durch die allg. binomische Formel aus der Folge eine Reihe wird. Zudem kann ich ja nicht das Montonieverhalten und die Beschränktheit der Folge verwenden, um die Funktion zu untersuchen, da man ja nicht nur ggf. Konvergenz sondern auch uneigentliche Konvergenz nachweisen muss. Was ja im Endeffekt bedeutet, dass ich den Grenzwert bestimmen muss. Anderenfalls kann man nicht zwischen Konvergenz, uneigentlicher Konvergenz und Divergenz unterscheiden. Wie auf dem Bild zu sehen ist versuche ich den Term zu vereinfachen und einen Term zu kreieren an den Grenzwert ablesen könnte. Erstens weiss ich nicht wie man das bei einer Reihe macht, zweitens ist dass bei Fakultäten schwierig. Ich habe per Taschenrechner ausgerechnet, dass der Grenzwert 1 ist.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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michaL aktiv_icon

21:08 Uhr, 14.11.2018

Hallo,

betrachte die Folge

(b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

mit

b_{n} = a_{n}^{n}

und ziehe deine Schlüsse daraus!

Mfg Michael

BennixXxAmber aktiv_icon

21:20 Uhr, 14.11.2018

Inwiefern hilft es mir

a_{n}

hoch

n

zu nehmen? Falls das gemeint war. Wäre es nicht sinnvoller eine Teilfolge

b_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}}

zu definieren und ihren Grenzwert

b

zu berechnen und dann zu untersuchen was passiert wenn man lim(infinity)->

b^{n} = a_{n}

nimmt? Kann ich es so schreiben (siehe Bild)? Klar, ich muss noch beweisen, dass

\frac{1}{n^{2}}

gegen 0 konvergiert, aber das sollte kein Problem sein.

michaL aktiv_icon

21:35 Uhr, 14.11.2018

Hallo,

nach deinem Muster würde folgendes gelten:

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{k \to \infty} lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{k} = lim_{k \to \infty} 1^{k} = 1

Dass das nicht stimmt, belegt die Quelle de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

Da ich annehmen muss, dass ihr den Grenzwert kürzlich in der Vorlesung hattet, bitte ich dich, doch noch einmal meinen Vorschlag in Erwägung zu ziehen.
Berechne doch eben mal einen geeigneten Term für

a_{n}^{n}

, dann wirst du schon sehen!

Mfg Michael

BennixXxAmber aktiv_icon

17:57 Uhr, 15.11.2018

Ich verstehe nicht wie mir das helfen soll...Ich mein dann habe ich

b_{n} = {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{2 n}

und dann? Es konvergiert trotzdem gegen

1,

was ja logischerweise bedeutet, dass

a_{n}

gegen 1 konvergiert. Anderenfalls würde sich beim quadrieren der Grenzwert verändern. Aber dafür muesste ich beweisen dass lim

[

n->Infinity]

{(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{2 n} = 1

gilt. Also ich denke ich muss irgendwie

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

verwenden. Aber wie kriege ich

n^{2}

aus dem Term. Ich mein wäre es

a_{n} = {(1 - \frac{1}{n^{2}})}^{n}

könnte ich mit der 3. binomischen Formel

n^{2}

als Produkt darstellen. Ich weiss nicht weiter...

Shipwater aktiv_icon

21:33 Uhr, 15.11.2018

Du hast

a_{n}^{2}

und nicht

a_{n}^{n}

berechnet ;-)

BennixXxAmber aktiv_icon

22:21 Uhr, 15.11.2018

Ja, jetzt habe ich

a_{n}^{n}

berechnet und komme immer noch auf einen endlosen Term mit dem ich nichts anfangen kann. Habe es mit

a_{n}

und

a_{n}^{n}

probiert (siehe Bild).

michaL aktiv_icon

22:30 Uhr, 15.11.2018

Hallo,

ok, also für Unbedarfte:

a_{n}^{n} = {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}}

Damit ist

(a_{n}^{n})_{n \in ℕ}

eine Teilfolge von

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}_{n \in ℕ}

und konvergiert also solche gegen

e

.

Und nun du wieder!

Mfg Michael

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