Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Winkel aus Bogenlänge einer Ellipse

Winkel aus Bogenlänge einer Ellipse

Universität / Fachhochschule

Tags: Bogenlänge, Ellipse, Ellipsen Funktion, Ellipsen Integral, Geometrie, Winkel

FreddyKay aktiv_icon

13:41 Uhr, 07.12.2014

Hallo Leute!

Ich habe das Problem, dass ich aus einer gegebenen Bogenlänge auf einer Ellipse den dazugehörigen Winkel bestimmen muss. Die Bogenlänge aus einem Winkel zu bestimmen scheint kein unlösbares Problem zu sein umgekehrt komm ich allerdings nicht klar. Ich hab ein Bild angehängt auf dem ihr sehen könnt was ich meine.

Bisher habe ich folgende Formeln benutzt

r = \frac{p}{1 - ε \cos (φ)}

s = \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} \sqrt{r^{2} + (\dot{r})^{2}} d φ

r = r (φ)

\dot{r} = \frac{d r}{d φ}

Wichtig dabei ist, dass das ganze in Polarkoordinaten ausgehend von einem Brennpunkt der Ellipse geschehen muss. Es geht hierbei um ein mechanisches problem bei der Transformation von Koordinaten.

Muss man jetzt das Integral für s umkeheren? Gibts es da keine Bestehende Formeln für um den Winkel aus der Bogenlänge zu bestimmen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

22:02 Uhr, 07.12.2014

Vielleicht schilderst du das eigentliche Problem. Bogenlänge und der Winkel hängen nicht einfach zusammen, sondern auch von den beteiligten

r

. verlängere deine Strahlen nach hinten, dann hast du den gleichen Winkel aber eine andere Bogenlänge.
Gruß ledum

Yokozuna aktiv_icon

23:12 Uhr, 07.12.2014

Hallo,

wenn ich mir Dein Bild anschaue, vermute ich mal sehr stark, dass der Winkel

φ_{1}

gegeben ist. Andernfalls wäre das Problem nicht eindeutig lösbar (siehe Beitrag von Ledum).

Die Integrale zur Berechnung des Umfangs einer Ellipse oder auch der Bogenlänge bei einer Ellipse sind nicht explizit lösbar, sondern nur mittels numerischer Verfahren oder bei nicht zu großem

ε

durch Reihenentwicklungen.

Die Bestimmung des Winkels

φ_{2}

(und damit des Winkels

φ = φ_{2} - φ_{1})

ist deshalb ebenfalls nur numerisch möglich.

Du hast die Funktion

s (φ_{2}) = \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d φ})}^{2}} \cdot d φ

und musst nun für eine vorgegebene Bogenlänge

S

eine Nullstelle

φ_{20}

der Funktion

s (φ_{2}) - S

finden.

Viele Grüße
Yokozuna

FreddyKay aktiv_icon

23:55 Uhr, 07.12.2014

Gut ich spezifiziere das noch einmal. Ich kenne alle Eigenschaften der Ellipse, also große und kleine Halbachse bzw

ε

(exzentrizität). Ich kenne auch

φ_{1}

bzw. kenne ich

r

, ich kenne beides, da beides über die obige Formel für r zusammenhängt. Ich kenne auch die Bogenlänge (angenommen die sei gegeben) für eine dieser Ellipsen mit startpunkt bei

φ_{1}

. Ich brauche nur noch den zur Bogenlänge zugehörigen winkel.

Mir ist klar, dass die Bogenlänge von den Eigenschaften der Ellipse, dem Radius und dem Winkel abhängt (ist ja oben für die Funktion von s zu sehen). Mir gehts darum wie man den Winkel zu einer Bogenlänge berechnet, dabei meine ich implizit, dass das für eine gegebene Ellipse geschehen soll, also alle nötigen Eigenschaften gegeben sind.

Die vorgeschlagene Antwort mit

s (φ_{2}) - S = 0

ist trivial. Ich hatte allerdings auf etwas weniger Trial & Error gehofft.

Es gibt ja die sog. elliptischen Funktionen die eigentlich die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale sind. Ich blick da allerdings nicht durch, kann einer von euch mir sagen wie man mein Problem damit löst?

ledum aktiv_icon

01:09 Uhr, 08.12.2014

Hallo
ich denke nicht, dass das mit erträglichem Aufwand geht. Kannst du nicht sagen, zu was du das brauchst, vielleicht gibt es eine andere Lösung.
gruß ledum

FreddyKay aktiv_icon

01:24 Uhr, 08.12.2014

Es geht darum Koordinaten zu transformieren wie es hier beschrieben wird:

http//www.agi.com/downloads/resources/white-papers/AAS%2011-464%20Curvalinear%20Coordinates%20for%20Covariance%20Operations.pdf

Siehe Seite 7, die Berechnung der Bogenlänge, ist ich mit dem Integral bei der Formel für s tue. Wenn man auf Seite 8, ganz oben guckt, so muss man hier aus gegebener Bogenlänge (y) den Winkel (dort

ν_{E n d}

) bestimmen. An dieser Stelle hänge ich gerade. Es ist leider nicht beschrieben welche "numerische methode" verwendet wird um das zu bestimmen.

Dabei beachten: Es geht explizit um die Umformung EQCM2ECI und umgekehrt NICHT um EQC2ECI.

ledum aktiv_icon

15:16 Uhr, 09.12.2014

Hallo
am Ende des Artikels steht
Matlab implementations will be made available upon request as we plan additional work to further study these phenomena.
Also schreib den Verfassern., da an anderer Stelle steht sie haben was du willst in matlab implementiert.
ich denke du musst einfach integrieren, bis du die das gewünschte

s

hast und das Programm das zugehörige

φ

ausgibt.
Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1204199

1203513

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?