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Winkel eines diagonalen Balkens herausfinden

Sonstiges

Tags: Balken, Breite, diagonal, Winkel

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anonymous

anonymous

13:11 Uhr, 31.05.2008

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Hallo, ich habe ein Problem und weiß nicht genau wie ich es lösen soll.
Ich habe ein Bild angehängt, damit klar wird was ich will.

Stellt euch vor ich will den Buchstaben „N“ kosntruieren.

Die zwei Balken links und rechts haben eine vorgegebene Breite und einen vorgegebenen Zwischenraum.

Der diagonale Balken hat eine andere Breite.

Dieser diagonale Balken soll genau mit den Ecken der horizontalen Balken abschließen.

Wie finde ich den Winkel des diagonalen Balkens heraus, wenn eben seine Breite vorgegeben ist und er durch die Mittelachse verlaufen soll?

Vielen Dank für eure Hilfe, Grüße Christoph

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Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

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hagman

hagman aktiv_icon

13:28 Uhr, 31.05.2008

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Die Höhe des "N" sei

h,

die Zwischenraumbreite sei

b,

die Balkendicke sei

d

und der Neigungswinkel sei

α

.
Die Berührstrecke mit den Seitenpfosten ist dann

\frac{d}{cos (α)}

) hoch, gleichzeitig ergibt sich für den Rest eine Höhe von

b \cdot tan (α

).
Zu lösen ist also

h = \frac{d}{cos (α)} + b \cdot tan (α

)

\Leftrightarrow h \cdot cos (α) = d + b \cdot sin (α

)

\Leftrightarrow h \cdot \sqrt{1 - t^{2}} = d + b \cdot t

(mit

t := sin (α)

)

\Rightarrow h^{2} (1 - t^{2}) = d^{2} + 2 b d t + b^{2} t^{2}

\Leftrightarrow (b^{2} + h^{2}) \cdot t^{2} + 2 b d \cdot t + d^{2} - h^{2} = 0

Mit den Lösungen

t_{1,2} = \frac{- b d \pm \sqrt{b^{2} d^{2} - (b^{2} + h^{2}) (d^{2} - h^{2})}}{b^{2} + h^{2}} = \frac{- b d \pm h \cdot \sqrt{b^{2} + h^{2} - d^{2}}}{b^{2} + h^{2}}

Dann ist

α

natürlich der arcsin hiervon.

Notwendige Voraussetzung ist offenbar, dass

b^{2} + h^{2} \geq d^{2}

gilt.

anonymous

anonymous

18:29 Uhr, 31.05.2008

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Vielen Dank, hat wunderbar funktioniert!

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