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Winkel in der Pyramide

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Pyramide, Seitenkanten, Winkel

Hanni19 aktiv_icon

15:02 Uhr, 21.10.2019

Hallo Leute

Ich habe ein Problem. Und zwar baue ich eine Pyramide aus Holz für ein Projekt. So schön mit Gärungen und so. Und da liegt das Problem. In welchem Winkel die Grundplatte angeschrägt (sag ich mal) werden muss hab ich schon. Aber wie kann man den Winkel der seitenkanten berechnen. Gibts da ne Formel ?

Die grundplatte ist quadratisch. Also 20cm auf 20cm, die seitenlänge der Dreiecke beträgt auch

20

cm

Wie kann ich jetzt ausrechnen in welchem Winkel die seitenkanten der Dreiecke gegärt(angeschrägt) werden müssen ?

Danke für Vorschläge Lösungen und Anregungen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

maxsymca

15:36 Uhr, 21.10.2019

Du gehst zu GeoGebra

und legst die Eckpunkte der Pyramide fest
A=(10, 10, 0)
B=(-10, 10, 0)
C=((-10), (-10), 0)
D=(10, (-10), 0)
E=(0, 0, (10 * sqrt(2))}
P=Pyramide(Vieleck({A, B, C, D}), E)
und eine Ebene über die Diagonale
Ed=Ebene(B, D, E)
sowie über die Seitenfläche
Es=Ebene(B, C, E)
und dann fragst Du nach dem Winkel
a=Winkel(Ed, Es)

Das sollte Deine schräge Kante sein?

rundblick aktiv_icon

20:27 Uhr, 21.10.2019

.
"Die grundplatte ist quadratisch"

\to

ich beschrifte die Eckpunkte so

\to A, B, C, D .

. und statt 20cm wähle ich a als Länge der Seiten

" die seitenlänge der Dreiecke beträgt auch

20

cm "

\to

also sind die Seitenflächen gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge a
.. und die Spitze

S

der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt

M

der Grundfläche

wenn ich deine Frage richtig verstehe, willst du nun zB den Neigungswinkel zwischen je zwei der
Seitenflächen finden?
also zB den Winkel, den die Dreiecke ABS und BCS (die einander längs der Kante BS schneiden)
miteinander einschliessen?

wenn ja .. dann schlage ich vor, die Figur in ein xyz-Koordinatensystem zu stellen,
die Grundplatte auf die xy-Ebene usw..
zB so, dass die Punkte diese Koordinaten haben:

A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (a; a; 0), D (0; a; 0), M (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0), S (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a \cdot \sqrt{2}}{2})

da die Dreiecke gleichseitig sind , ist der Mittelpunkt

H

der Seitenkante BS
Höhenfusspunkt sowohl der Höhe AH des Dreiecks ABS als auch der Höhe CH im Dreieck BCS

\to

die Koordinaten von

H

sind

\to H (\frac{3 a}{4}; \frac{a}{4}; \frac{a \cdot \sqrt{2}}{4})

und jetzt kannst du deinen gesuchten Winkel

α

zB mit dem Skalarprodukt berechnen:

cos (α) = \frac{\vec{A H} \cdot \vec{C H}}{| \vec{A H} | \cdot | \vec{C H} |}

nebenbei: wenn du auch

cos (α) = - \frac{1}{3}

bekommst,
dann habe ich mich vermutlich nicht verrechnet..
.

maxsymca

20:59 Uhr, 21.10.2019

Du hast Dich nicht verrechnet.
Der Gerungswinkel um den eine Seite einzuschneiden ist, ist aber die Hälfte von Deinem Winkel.
Ich hab eine Formel dazu gemacht

G e r u n g_{S e i t e n f l a e c h e P y r a m i d e} (s_{o}, h_{o}) := c o s^{- 1} (\frac{\sqrt{2} h_{o}}{\sqrt{4 h_{o}^{2} + s_{o}^{2}}})

siehe Bild oben

Hanni19 aktiv_icon

22:33 Uhr, 21.10.2019

Vielen Dank euch. Wenn ich es durchrechne komme ich auch auf die

54, . .

. grad aber in GeoGebra komme ich immer auf

52, . .

. Grad. Was mach ich falsch ?

maxsymca

22:37 Uhr, 21.10.2019

Tja, dazu müsstest Du das File online stellen.
Hast Du ein ggb konto, dann Aktivität dort hoch laden und link hier rein stellen.
Kontrollier doch noch mal meine Angaben?

Hanni19 aktiv_icon

22:45 Uhr, 21.10.2019

Hab leider kein Konto