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Winkel vom Würfel

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Tags: Sonstiges, Winkel

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21:33 Uhr, 08.01.2010

Guten Abend an alle,

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich weiß leider nicht genau was ich machen soll, außer den Winkel zu berechnen! Habe leider keinen Ansatz dazu. Hoffe das mir jemand helfen kann. Vielen Dank!

(a) Welchen Winkel $φ$ bilden die (sich in einer Ecke schneidenden) Diagonalen (Flächendiagonalen) zweier aneinander grenzender Würfelflächen?

(b) Unter welchem Winkel $φ$ schneiden sich die Raumdiagonalen (d.h. Diagonale von einem Eckpunkt zum gegenüberliegenden Eckpunkt) eines Würfels?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

David222 aktiv_icon

21:38 Uhr, 08.01.2010

Darf man fragen was alles gegebn ist?

mathelast aktiv_icon

21:43 Uhr, 08.01.2010

Das ist alles was gegeben ist.

Ich habe gerade gemerkt das ich bei b) einen Fehler drin habe! Soll heißen Winkel von $β$ und nicht von Winkel von $φ$ !

David222 aktiv_icon

22:09 Uhr, 08.01.2010

Ich hoffe das habe ich richtig verstanden.
Hier mal die Lösung zu

b)

Ich nenne die Raumdiagonalen

e_{1}

und

e_{2}

.
Zudem benenne ich die Flächendiagonale als

f

und die Seitenlängen des Würfels als a

e_{1} = a \cdot \sqrt[]{3}

f = a \cdot \sqrt[]{2}

Der Winkel zwischen der Raumdiagonal und der anliegenden Flächendiagonalen die sich in einer Ecke treffen ist

cos β = (\frac{f}{e_{1}})

und wenn mich nicht alles täuscht müßte der Winkel zwischen den Raumdiagonalen2*

cos β = (\frac{f}{e_{1}})

sein.

\to 2 \cdot cos β = \frac{a \cdot \sqrt[]{2}}{a \cdot \sqrt[]{3}} = \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}}

β

=35,26° und das ganze mal 2
also

β =

70,52°
hoffe das ich das richtig gemacht habe

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22:27 Uhr, 08.01.2010

Laut Lösung (hab nur das Ergebnis) ist die b) richtig.

Vielen Dank für die b) :-)

David222 aktiv_icon

22:29 Uhr, 08.01.2010

Möchtest du die

a)

auch noch haben?

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22:30 Uhr, 08.01.2010

Ja das wäre nett von dir.

David222 aktiv_icon

22:43 Uhr, 08.01.2010

Bei

a)

bin ich mir leider nicht ganz sicher was gesucht ist.
Ich hoffe das es mal die Diagonalen von einer Seitenfläche ist, also von einem Quadrat.

Die Diagonale ist wieder

e

und die Seitenlänge des Quadrates

a

e^{2} = a^{2} + a^{2}

e = \sqrt[]{2 \cdot a^{2}} \to e = a \cdot \sqrt[]{2}

cos φ = \frac{a}{e} = \frac{a}{a \sqrt[]{2}} = \frac{1}{\sqrt[]{2}}

φ

=45°

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22:49 Uhr, 08.01.2010

Laut Lösung ist a) = 60°

David222 aktiv_icon

22:52 Uhr, 08.01.2010

ich muß mir das mal ein paar mal durchlesen, wie gesagt ich war mir nicht ganz sicher was bei

a)

gesucht ist.
Gib mir mal noch ein paar Minuten

David222 aktiv_icon

23:03 Uhr, 08.01.2010

Ich habe die Diagonalen in den Würfel reingemalt und daraus ein dreieck gemacht, und siehe es da es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck mit den Kantenlängen

a \cdot \sqrt[]{2}

. Und wie groß sind die Winkel in einem gleichseitigen Dreieck?
Natürlich 60°.

mathelast aktiv_icon

23:10 Uhr, 08.01.2010

merci beaucoup!

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