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Wurzelkriterium - typische Grenzwerte, Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, Wurzelkriterium

UchihaMadara aktiv_icon

12:35 Uhr, 30.08.2023

Hi!

Untersuche die Reihe auf Kovergenz:

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{3 n - 1} \cdot \frac{5^{n} \cdot n^{4}}{3^{2 n}}

Angewendet habe ich das Wurzelkriterium:

| \frac{5^{n} \cdot n^{4}}{3^{2 n}} | = \sqrt[n]{\frac{5^{n} \cdot n^{4}}{3^{2 n}}} = \frac{\sqrt[n]{5^{n} \cdot n^{4}}}{\sqrt[n]{3^{2 n}}}

= lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{5^{n}} \cdot (\sqrt[n]{n^{4}})}{\sqrt[n]{3^{2 n}}}

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{4}} = 1

folgt

lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt[n]{5^{n}}}{\sqrt[n]{9^{n}}})

Ich weiß nicht mehr weiter, gibt es einen typischen Grenzwert (oder so) für

\sqrt[n]{a^{n}}

?

VG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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HAL9000

12:42 Uhr, 30.08.2023

Sieht nach Brett vorm Kopf aus, bzw. Tomaten auf den Augen:

Für reelle

a > 0

ist schlicht

\sqrt[n]{a^{n}} = a

calc007

12:47 Uhr, 30.08.2023

löblich, das Wurzelkriterium zu üben.
Wer üben und lernen will, dem empfehle ich anschließend noch das Leibnitz-Kriterium.

HAL9000

12:49 Uhr, 30.08.2023

Basierend auf

\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}) z^{n} = \frac{1}{{(1 - z)}^{k + 1}}

, gültig für alle komplexen

∣ z ∣ < 1

sowie nichtnegativen ganzen Zahlen

k

kann man hier übrigens auch den Reihenwert ausrechnen, der ist

- \frac{1935}{16807}

UchihaMadara aktiv_icon

13:02 Uhr, 30.08.2023

Oh Mann :-D)

Danke!!

ledum aktiv_icon

12:14 Uhr, 31.08.2023

Bitte abhaken, wenn eine Frage erledigt ist
Gruß ledum

UchihaMadara aktiv_icon

12:37 Uhr, 31.08.2023

. .

UchihaMadara aktiv_icon

12:37 Uhr, 31.08.2023

. .

Sukomaki aktiv_icon

22:07 Uhr, 31.08.2023

@Hal9000

Ich habe verzweifelt versucht, Dein

\sum_{n = 0}^{\infty} ((\binom{n + k}{k})) z^{n} = \frac{1}{(1 - z)^{k + 1}}

nachzuvollziehen. Zu dem Zweck habe ich mich drei Stunden mit vollständiger Induktion herumgeschlagen. Das war nicht zielführend.

Dann habe ich mir gewünscht, dass ich die Aufgabe endlich selbst gelöst bekomme.

Fünf Minuten später kam mir die Eingebung, dass ich ja nur

\frac{1}{(1 - z)^{k + 1}}

rekursiv in eine Taylor-Reihe entwickeln muss. Der Rest war total easy.

Manchmal werden Wünsche wahr :-)

LG
Sukomaki

HAL9000

12:46 Uhr, 01.09.2023

Diese spezielle Taylor-Reihe kennt man ja auch als Binomialreihe, welche im direkten Sinne

{(1 - z)}^{- k - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} - k - 1 \\ n \end{array}) \cdot {(- z)}^{n}

lautet. Nun ist aber

(\begin{array}{c} - k - 1 \\ n \end{array}) = \frac{(- k - 1) (- k - 2) \cdot \dots \cdot (- k - n)}{n!} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{(k + 1) (k + 2) \cdot \dots \cdot (k + n)}{n!}

,

woraus dann Darstellung

{(1 - z)}^{- k - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} n + k \\ n \end{array}) \cdot z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}) \cdot z^{n}

folgt.

Sukomaki aktiv_icon

14:22 Uhr, 01.09.2023

Ok, danke.

Sukomaki aktiv_icon

19:22 Uhr, 01.09.2023

Hi Hal9000,

ich bringe mal meinen Versuch, nachzuvollziehen was Du da so gemacht hast, um den Reihenwert zu bestimmen, zu Papier.

Zuerst mal den zu summierenden Term vereinfachen :

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{3 n - 1} \cdot 5^{n} \cdot n^{4}}{3^{2 n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} \cdot 5^{n} \cdot n^{4}}{9^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} - {(- \frac{5}{9})}^{n} \cdot n^{4}

Dann

n^{4}

als Summe von Binomialkoeffizienten zusammensetzen :

n^{4} = 24 \cdot (\binom{n + 4}{4}) - 60 \cdot (\binom{n + 3}{3}) + 50 \cdot (\binom{n + 2}{2}) - 15 \cdot (\binom{n + 1}{1}) + (\binom{n + 0}{0})

Also ist die Reihe schreibbar als :

\sum_{n = 1}^{\infty} - {(- \frac{5}{9})}^{n} \cdot (24 \cdot (\binom{n + 4}{4}) - 60 \cdot (\binom{n + 3}{3}) + 50 \cdot (\binom{n + 2}{2}) - 15 \cdot (\binom{n + 1}{1}) + (\binom{n + 0}{0}))

Wegen

\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{n + k}{k}) z^{n} = \frac{1}{(1 - z)^{k + 1}}

und

1 - z = 1 - (- \frac{5}{9}) = \frac{14}{9}

folgt

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{3 n - 1} \cdot 5^{n} \cdot n^{4}}{3^{2 n}} = - \frac{24}{{(\frac{14}{9})}^{5}} + \frac{60}{{(\frac{14}{9})}^{4}} - \frac{50}{{(\frac{14}{9})}^{3}} + \frac{15}{{(\frac{14}{9})}^{2}} - \frac{1}{{(\frac{14}{9})}^{1}}

Und das ergibt Deine

- \frac{1935}{16807}

Hast Du das auch so gemacht wie ich?

Oder wieder mal total viel einfacher?

HAL9000

21:25 Uhr, 01.09.2023

Genauso habe ich es gemeint:

(\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array})

für

k = 0, \dots, m

ist eine Basis des Vektorraums aller Polynome aus

ℝ [n]

maximal

m

-ten Grades, auch im Fall

m = 4

. Damit kann man speziell das Polynom

n^{4}

als Linearkombination dieser fünf Polynome schreiben, was du ja oben auch getan hast.

Sukomaki aktiv_icon

11:02 Uhr, 02.09.2023

Dann sind wir uns ja einig. :-)

Ich habe mal aus Spaß an der Sache ein Python-Skript geschrieben, das - gegeben ein Polynom P - die Koeffizienten der Linearkombination der Binomialpolynome berechnet.

Eingabe : [0, 0, 0, 0, 1] (das entspricht

n^{4}

)
Ausgabe : [1, -15, 50, -60, 24] (das sind die bekannten Koeffizienten der Binomialpolynome)

Der Quellcode ist lediglich 48 Zeilen lang.

(Ich hätte anstatt eine Array-Implementierung zu verwenden einen Funktioneninterpreter schreiben können. Aber das wäre viel aufwändiger geworden)

Die Methode, in der ein Polynom skaliert wird, ist beispielsweise ein Einzeiler :

def polySkal(s, A) : return(list(map(lambda x : s * x, A)))

Python ist schon cool :-D)

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