Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeige: Gleichmäßige Beschränktheit

Zeige: Gleichmäßige Beschränktheit

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Beweis, Funktionenfolgen, gleichmäßig beschränkt

LuciaSera aktiv_icon

15:00 Uhr, 04.10.2018

Meine Aufgabe:

Sei

{(f_{n} (x))}_{n \in ℕ}

eine Funktionenfolge, die gleichmäßig auf

D \subseteq ℝ

konvergiert, wobei jede Funktion

f_{n}

beschränkt ist. Beweisen Sie, dass die Folge

{(f_{n})}_{n \in ℕ}

gleichmäßig beschränkt ist,

d . h .,

es gibt

M > 0,

so dass

| f_{n} (x) | \leq M, \forall n \in ℕ, \forall x \in D

.

Ich habe bereits versucht mit dem Cauchy-Kriterium zu experimentieren, bin jedoch auf keinen grünen Zweig gekommen... Ich stehe ziemlich auf der Leitung und weiß gerade nicht wie ich diese Aufgabe am besten angehen soll.

Freue mich wirklich über jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

15:55 Uhr, 04.10.2018

Hallo,
wie habt ihr denn gleichmäßige Konvergenz definiert?
Benutzt ihr die Supremumnorm

∣ ∣ f ∣ ∣ = sup_{x \in D} ∣ f (x) ∣

,
die zumindest für beschränkte Funktionen Sinn gibt, und sagt
dann

f_{n} \to f

gleichmäßig, wenn

∣ ∣ f - f_{n} ∣ ∣ \to 0

?
Gruß ermanus

Domares aktiv_icon

15:56 Uhr, 04.10.2018

Versuchs noch einmal mit Cauchy und folgendem Trick/Tipp, den man immer mal wieder brauchen kann. Für beliebiges

n_{0} \in ℕ

gilt:

\forall n \in ℕ : ∥ f_{n} ∥_{\infty} \leq ∥ f_{n} - f_{n_{0}} ∥_{\infty} + ∥ f_{n_{0}} ∥_{\infty}

Dabei ist

∥ . ∥_{\infty}

die übliche Supremusnorm auf

D

LuciaSera aktiv_icon

17:42 Uhr, 04.10.2018

Nein wir haben es folgendermaßen definiert:

\forall ε > 0 : \exists n_{0} (ε) \in ℕ : \forall n \geq n_{0} : | f_{n} (x) - f (x) | < ε, \forall x \in D

Die Definition mit dem Supremum haben wir als Supremum-Kriterium kennengelernt.

Damit weiß ich leider noch nicht so viel anzufangen...

LuciaSera aktiv_icon

17:57 Uhr, 04.10.2018

hmm.. also ich habe folgende Überlegung aufgestellt:

| f_{n} (x) | \leq | f_{n} (x) - f_{n_{0}} (x) | + | f_{n_{0}} (x) | \leq | f_{n} (x) - f (x) | + | f (x) - f_{n_{0}} (x) | + | f_{n_{0}} (x) | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} + M' = M

Damit wäre dann gezeigt, dass

| f_{n} (x) | \leq M

. Die Frage ist nur, ob das so stimmt oder nicht. Ich habe es mit

\frac{ε}{2}

versucht, da es ja 'nur' eine Konstante ist.

Ist das so korrekt?

ermanus aktiv_icon

18:08 Uhr, 04.10.2018

Du kannst es einfacher haben: mit Cauchy gibt es

n_{0}

, so dass

∣ f_{n} (x) ∣ \leq ∣ f_{n} (x) - f_{n_{0}} ∣ + ∣ f_{n_{0}} (x) ∣ < ε + ∣ f_{n_{0}} (x) ∣

für alle

x

und alle

n \geq n_{0}

.
Du musst nicht den Umweg über die Grenzfunktion

f

gehen.
Du darfst aber nicht die oberen Schranken für die Funktionen

f_{1}, \dots, f_{n_{0} - 1}

unter den Tisch fallen lassen.
Die spielen zwar keine wichtige Rolle, können aber das

M

noch ein bisschen
nach oben treiben.
Gruß ermanus

P.S.: Da du die Herrin über das

ε

bist, kannst du z.B.

ε = 1

vorgeben.

LuciaSera aktiv_icon

18:45 Uhr, 04.10.2018

Stimmt. Da erspare ich mich das nochmalige Aufspalten.

Ist der Beweis dann fehlerhaft oder nur nicht ganz vollständig? bzw. ist es essentiell, dass ich mir die Folgen

f_{1}, ..., f_{n_{0 - 1}}

betrachte? Wenn ja, dann blicke ich nicht ganz durch.

ermanus aktiv_icon

19:03 Uhr, 04.10.2018

Naja,
sei

M

eine obere Schranke für

∣ f_{n_{0}} (x) ∣

und seien
entsprechend

M_{1}, \dots, M_{n_{0} - 1}

Schranken für

f_{1}, \dots, f_{n_{0} - 1}

.
Dann kannst/musst/solltest du als gemeinsame Schranke

M = max {M_{1}, \dots, M_{n_{0} - 1}, M + 1}

nehmen (

ε = 1

vorausgesetzt).

LuciaSera aktiv_icon

08:07 Uhr, 05.10.2018

Ach natürlich! Danke! Keine ahnung wie ich gerade so auf der Leitung stehen konnte.

ermanus aktiv_icon

08:33 Uhr, 05.10.2018

Oh, sehe gerade, dass ich

M

aus Versehen in zwei verschiedenen
Bedeutungen verwendet habe.
Es sollte

N = max . . .

für eine gemeinsame Schranke

N

heißen.
Gruß ermanus

LuciaSera aktiv_icon

16:50 Uhr, 07.10.2018

Mir fällt gerade auf dass ich hier doch noch eine Frage hätte:

Wieso kommt in meiner Menge

M = max {M_{1}, ..., M_{n_{0} - 1}, M_{n_{0}} + 1} M_{n_{0}}

nicht vor, sondern nur in der Form

+ 1

?
Weil

f_{n_{0}}

wird ja durch

M_{n_{0}}

abgeschätzt, also müsste dies ja in der Menge auch vorkommen oder?

Oder meintest du folgendes:

Menge

M = max {M_{1} + 1, ..., M_{n_{0} - 1} + 1, M_{n_{0}} + 1}

ermanus aktiv_icon

17:15 Uhr, 07.10.2018

Ja, das

M

ist in der Tat das

M_{n_{0}}

.
Nun schau in meinen Beitrag von 4.10. um 18:08 Uhr.
Da siehst du, dass für

n \geq n_{0}

alle

f_{n}

durch

ε + M_{n_{0}}

abgeschätzt werden. Speziell und obergroßzügig mit

ε = 1

also
durch

M_{n_{0}} + 1

. Insgesamt haben wir also die relevanten
Schranken

M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n_{0}}

für die Funktionen

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n_{0}}

und

M_{n_{0}} + 1

für alle anderen

f_{n}

.
Eine gemeinsame Schranke ist dann z.B.

max {M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n_{0}}, M_{n_{0}} + 1}

, Da aber klarerweise

M_{n_{0}} < M_{n_{0}} + 1

ist, kann ich doch

M_{n_{0}}

weglassen, da es ohnehin
keinen Beitrag zum

max

liefert.

1441209

1440880

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?