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Zeigen Sie, dass eine Folge konvergiert

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Caro26 aktiv_icon

21:15 Uhr, 07.11.2009

Hi

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe

Zeigen Sie: Eine Folge (an)n€

ℕ

reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn die drei Teilfolgen (a2k)k€

ℕ, (a 2 k + 1)

k€

ℕ

und (a3k)k€

ℕ

konvergieren.

Ich weiß nicht wie ich hier anfangen muss!

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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michaL aktiv_icon

21:26 Uhr, 07.11.2009

Hallo Caro,

du sollst ja eine "genau dann, wenn"-Aussage beweisen, mit anderen Worten: eine Äquivalenz.
Du musst (wahrscheinlich) beide Implikationen beweisen: "

\Rightarrow

" und "

\Leftarrow

"
"

\Rightarrow

" ist wirklich nicht schwierig, vielleicht habt ihr in der Vorlesung sogar so einen Satz gehabt: Konvergiert

(a_{n})_{n \in ℕ}

, so auch jede ihrer Teilfolgen.

Bei "

\Leftarrow

" wirds schon schwieriger. Da musst du zunächst beweisen, dass die drei gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. Tipp: etwa mit Widerspruch.
Damit ist eigentlich schon der Beweis erbracht, dass dann auch

(a_{n})_{n \in ℕ}

konvergiert. Zur Sicherheit kann man das aber über eine pseudo-Epsilontik (also keine konkreten Werte) nachweisen.

Wenn Schwierigkeiten bleiben, melde dich doch noch mal.

Mfg Michael

Sting aktiv_icon

17:43 Uhr, 08.11.2009

Ich hab die gleiche Aufgabe und hab irgendwie garkeinen Plan. Könntest du, vorrausgesetzt du hast Zeit und Lust, die Aufgabe mal vorrechnen. Skripte wälzen hat mir noch keine Erleuchtung gebracht.

Gruß Sting

Caro26 aktiv_icon

17:02 Uhr, 09.11.2009

Hi

Also "=>" ist mir klar!

Aber i-wie kann ich das andere nicht zeigen!

Also aussage A ist gültig: (an)n konvergiert gegen

a

.Dann konvergiert jede Teilfolge von

a (n)

gegen

a .

Und das kann ich ja mit dem indirekten beweis beweisen, wie du schon gesagt hast! Also muss ich annehmen, dass Aussage A nicht gültig ist! Aber wie genau ich das machen soll weiß ich nicht!

glg Caro

m-at-he

03:45 Uhr, 10.11.2009

Hallo,

der "Rückbeweis" ist eigentlich auch einfach:

{(a_{2 \cdot k})}_{k}

ist konvergent und konvergiert gegen

g_{2} .

{(a_{3 \cdot k})}_{k}

ist konvergent und konvergiert gegen

g_{3} .

\Rightarrow

Jede Teilfolge von

{(a_{2 \cdot k})}_{k}

konvergiert und zwar gegen

g_{2}!

\Rightarrow

Jede Teilfolge von

{(a_{3 \cdot k})}_{k}

konvergiert und zwar gegen

g_{3}!

\Rightarrow

insbesondere konvergiert damit

{(a_{6 \cdot k})}_{k}

als Teilfolge von

{(a_{2 \cdot k})}_{k}

gegen

g_{2} .

\Rightarrow

insbesondere konvergiert damit

{(a_{6 \cdot k})}_{k}

als Teilfolge von

{(a_{3 \cdot k})}_{k}

gegen

g_{3} .

\Rightarrow g_{2} = g_{3}

außerdem gilt:

{(a_{2 \cdot k + 1})}_{k}

ist konvergent und konvergiert gegen

g_{u} .

{(a_{3 \cdot k})}_{k}

ist konvergent und konvergiert gegen

g_{3} .

\Rightarrow

Jede Teilfolge von

{(a_{2 \cdot k + 1})}_{k}

konvergiert und zwar gegen

g_{u}!

\Rightarrow

Jede Teilfolge von

{(a_{3 \cdot k})}_{k}

konvergiert und zwar gegen

g_{3}!

\Rightarrow

insbesondere konvergiert damit

{(a_{2 \cdot (3 \cdot k + 1) + 1})}_{k} = (a_{3 \cdot (2 \cdot k + 1)}_k

als Teilfolge von

{(a_{2 \cdot k + 1})}_{k}

gegen

g_{u} .

\Rightarrow

insbesondere konvergiert damit

{(a_{3 \cdot (2 \cdot k + 1)})}_{k}

als Teilfolge von

{(a_{3 \cdot k})}_{k}

gegen

g_{3} .

\Rightarrow g_{u} = g_{3}

\Rightarrow g := g_{2} = g_{3} = g_{u}

Die beiden Teilfolgen

{(a_{2 \cdot k + 1})}_{k}

und

{(a_{2 \cdot k})}_{k}

bilden eine vollständige Zerlegung der Folge

{(a_{k})}_{k},

die somit ebenfalls gegen

g

konvergiert!

Caro26 aktiv_icon

18:32 Uhr, 10.11.2009

Danke das ist sehr logisch! :-)

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