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Zeigen das Q^2 abzählbar ist

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Funktionenfolgen

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Tags: Funktionenfolgen, Grenzwert

 
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lisa-m14

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17:35 Uhr, 28.09.2014

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ℚ2 sein die Menge aller Paare (p,q) von rationalen Zahlen. Zeigen Sie, dass ℚ2 abzählbar ist.

Mein Lösungsansatz:

Wir wissen das ℚ abzählbar unendlich ist.
Auch sind alle positiven Elemente von ℚ abzählbar unendlich (ℚ+ bzw. ℚ>0)

⇒ℚ+ ist gleichmächtig zu ℕ.

Es gibt bei ℚxℚ eine Abzählung der Elemente nach dem Muster (p1,q1),(p2,q2),(p3,q3)....
Ich definiere jetzt die Abbildungen:

ℚxℚ={(pi,qi)|p,q∈ℚ,i,j∈ℕ}

Die Abbildung F:ℚxℚ→ℕxℕ,(pi,qj)→(i,j) ist Bijektiv.

⇒ℚxℚ ist gleichmächtig zu ℕxℕ

Die Abbildung G:ℕxℕ→Q+,(i,j)→ij ist ebenfalls Bijektiv.

⇒ℕxℕ ist gleichmächtig zu ℚ+

Somit gilt: ℚxℚ=ℕxℕ=ℚ+=ℕ

Und daraus folgt das ℚxℚ=ℕ und ℚ2 ist somit abzählbar ist.



Wäre das so alles korrekt ? Und falls ja stimmt es auch formlich ?

Liebe Grüße
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:48 Uhr, 28.09.2014

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"Die Abbildung G:ℕxℕ→Q+,(i,j)→i/j ist ebenfalls Bijektiv."

Sie ist nicht bijektiv, weil nicht injektiv: (2,4)->2/4=1/2 und (1,2) -> 1/2.

Am besten Du argumentierst einfach so: ℚ und ℕ sind bijektiv, es gibt
also eine Bijektion φ:ℚ→ℕ. Dann sind ℚ×ℚ und ℕ×ℕ auch bijektiv, man kann eine Bijektion ψ so definieren: ψ(q1,q2):=(φ(q1),φ(q2)). Dass es wirklich eine Bijektion ist, ist leicht zu sehen. Und dann nutzt Du, dass ℕ×ℕ und ℕ auch bijektiv sind.
lisa-m14

lisa-m14 aktiv_icon

17:56 Uhr, 28.09.2014

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Dann muss ich ja nicht viel machen.

Reicht es es wenn ich das so aufschreibe:

Da ℚ abzählbar ist und somit auch bijektiv zu ℕ:

f:ℚ→ℕ

Darauf folgt das ℚxℚ→ℕxℕ auch Bijektiv sein müssen.

Und aus der vorherigen Aufgabe folgt auch ℕxℕ→N bijektiv.

Somit ist ℚxℚ→N auch bijektiv und somit ist ℚ2 abzählbar.
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Bummerang

Bummerang

18:26 Uhr, 28.09.2014

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Hallo,

Eine etwas andere Lösung:

Jede unendliche Teilmenge von ℕ ist gleichmächtig zu ℕ, das solltest Du wissen. Du hast gezeigt, dass ℕ2 gleichmächtig zu ℕ ist. Die dafür verwendete bijektive Funktion sei φ:ℕ2→ℕ. Dann ist ℕ4 auch gleichmächtig zu ℕ mit der bijektiven Abbildung ψ:ℕ4→ℕ mit ψ(p,q,r,s):=φ(φ(p,q),φ(r,s)). Es existiert eine "natürliche" Bijektion ρ von ℚ2inℕ4 gemäss ρ(pq,rs))=(p,q,r,s). Die Hintereinanderausführung ρ ○ ψ ist demzufolge eine Bijektion von ℚ2in eine Teilmenge von ℕ. Für Dein φ gilt ja, dass φ(n,m)≥min(m,n) ist, Damit ist auch ψ(p,q,r,s)≥min(φ(p,q),φ(r,s))≥min(min(p,q),min(r,s))=min(p,q,r,s). Deshalb bildet wegen der Unbeschränktheit der Argumente q und s die Abbildung ρ ○ ψ die Menge ℚ2 auf eine unendliche Teilmenge von ℕ ab und ist dieser Teilmenge gleichmächtig. Damit ist ℚ2 natürlich auch gleichmächtig zu ℕ.