Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen das Q^2 abzählbar ist

Zeigen das Q^2 abzählbar ist

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Grenzwerte

Tags: Funktionenfolgen, Grenzwert

lisa-m14 aktiv_icon

17:35 Uhr, 28.09.2014

$ℚ^{2}$ sein die Menge aller Paare $(p, q)$ von rationalen Zahlen. Zeigen Sie, dass $ℚ^{2}$ abzählbar ist.

Mein Lösungsansatz:

Wir wissen das $ℚ$ abzählbar unendlich ist.
Auch sind alle positiven Elemente von $ℚ$ abzählbar unendlich $(ℚ_{+}$ bzw. $ℚ_{> 0})$

$\Rightarrow ℚ_{+}$ ist gleichmächtig zu $ℕ$ .

Es gibt bei $ℚ x ℚ$ eine Abzählung der Elemente nach dem Muster $(p_{1}, q_{1}), (p_{2}, q_{2}), (p_{3}, q_{3}) ...$ .
Ich definiere jetzt die Abbildungen:

$ℚ x ℚ = {(p_{i}, q_{i}) | p, q \in ℚ, i, j \in ℕ}$

Die Abbildung $F : ℚ x ℚ \to ℕ x ℕ, (p_{i}, q_{j}) \to (i, j)$ ist Bijektiv.

$\Rightarrow ℚ x ℚ$ ist gleichmächtig zu $ℕ x ℕ$

Die Abbildung $G : ℕ x ℕ \to Q_{+}, (i, j) \to \frac{i}{j}$ ist ebenfalls Bijektiv.

$\Rightarrow ℕ x ℕ$ ist gleichmächtig zu $ℚ_{+}$

Somit gilt: $ℚ x ℚ = ℕ x ℕ = ℚ_{+} = ℕ$

Und daraus folgt das $ℚ x ℚ = ℕ$ und $ℚ^{2}$ ist somit abzählbar ist.

Wäre das so alles korrekt ? Und falls ja stimmt es auch formlich ?

Liebe Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

17:48 Uhr, 28.09.2014

"Die Abbildung $G : ℕ x ℕ \to Q_{+}, (i, j) \to i / j$ ist ebenfalls Bijektiv."

Sie ist nicht bijektiv, weil nicht injektiv: (2,4)->2/4=1/2 und (1,2) -> 1/2.

Am besten Du argumentierst einfach so: $ℚ$ und $ℕ$ sind bijektiv, es gibt
also eine Bijektion $φ : ℚ \to ℕ$ . Dann sind $ℚ \times ℚ$ und $ℕ \times ℕ$ auch bijektiv, man kann eine Bijektion $ψ$ so definieren: $ψ (q_{1}, q_{2}) := (φ (q_{1}), φ (q_{2}))$ . Dass es wirklich eine Bijektion ist, ist leicht zu sehen. Und dann nutzt Du, dass $ℕ \times ℕ$ und $ℕ$ auch bijektiv sind.

lisa-m14 aktiv_icon

17:56 Uhr, 28.09.2014

Dann muss ich ja nicht viel machen.

Reicht es es wenn ich das so aufschreibe:

Da $ℚ$ abzählbar ist und somit auch bijektiv zu $ℕ :$

$f : ℚ \to ℕ$

Darauf folgt das $ℚ x ℚ \to ℕ x ℕ$ auch Bijektiv sein müssen.

Und aus der vorherigen Aufgabe folgt auch $ℕ x ℕ \to N$ bijektiv.

Somit ist $ℚ x ℚ \to N$ auch bijektiv und somit ist $ℚ^{2}$ abzählbar.

Bummerang

18:26 Uhr, 28.09.2014

Hallo,

Eine etwas andere Lösung:

Jede unendliche Teilmenge von $ℕ$ ist gleichmächtig zu $ℕ,$ das solltest Du wissen. Du hast gezeigt, dass $ℕ^{2}$ gleichmächtig zu $ℕ$ ist. Die dafür verwendete bijektive Funktion sei $φ : ℕ^{2} \to ℕ$ . Dann ist $ℕ^{4}$ auch gleichmächtig zu $ℕ$ mit der bijektiven Abbildung $ψ : ℕ^{4} \to ℕ$ mit $ψ (p, q, r, s) := φ (φ (p, q), φ (r, s))$ . Es existiert eine "natürliche" Bijektion $ρ$ von $ℚ^{2} i n ℕ^{4}$ gemäss $ρ (\frac{p}{q}, \frac{r}{s})) = (p, q, r, s)$ . Die Hintereinanderausführung $ρ$ ○ $ψ$ ist demzufolge eine Bijektion von $ℚ^{2} i n$ eine Teilmenge von $ℕ$ . Für Dein $φ$ gilt ja, dass $φ (n, m) \geq min (m, n)$ ist, Damit ist auch $ψ (p, q, r, s) \geq min (φ (p, q), φ (r, s)) \geq min (min (p, q), min (r, s)) = min (p, q, r, s)$ . Deshalb bildet wegen der Unbeschränktheit der Argumente $q$ und $s$ die Abbildung $ρ$ ○ $ψ$ die Menge $ℚ^{2}$ auf eine unendliche Teilmenge von $ℕ$ ab und ist dieser Teilmenge gleichmächtig. Damit ist $ℚ^{2}$ natürlich auch gleichmächtig zu $ℕ$ .

1187398

1187388

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?