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Zeigen, dass die Mengen gleich sind

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, mengen

TheOne123 aktiv_icon

16:33 Uhr, 18.10.2018

Hallo,
ich hänge gerade an einer Aufgabe. Ich habe folgende zwei Mengen gegeben:

A = {n \in ℕ | n

ist ein Vielfaches von

6}

B = {n \in ℕ | n

ist ein Vielfaches von 2 und ein Vielfaches von

3}

Ich soll nun zeigen, dass

A = B

ist.

Mein Ansatz sieht so aus, dass ich die beiden Mengen "umforme"(?) bzw. "umschreibe". Ich weiß nicht wie man das fachsprachlich nennt. So siehts dann zumindest bei mir aus:

Zu zeigen:

A = B

(\frac{n}{6} \in ℕ \land n \in ℕ) \Rightarrow n \in A = (\frac{n}{2} \in ℕ \land \frac{n}{3} \in ℕ \land n \in ℕ) \Rightarrow n \in B

Da wir davon ausgehen, dass

A = B

können wir uns auf beiden Seiten auf entweder A oder

B

festlegen und dann so lange umformen, bis wir auf beiden Seite das gleiche stehen haben.
Also ich lege mich jetzt mal auf das A fest:

(\frac{n}{6} \in ℕ \land n \in ℕ) \Rightarrow n \in A = (\frac{n}{2} \in ℕ \land \frac{n}{3} \in ℕ \land n \in ℕ) \Rightarrow n \in A

Nun komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß ehrlich gesagt nicht mal, ob ich "ansatzweise" auf dem richtigen Weg bin. Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Kleine Frage am Rande: Wie mache ich, wenn ich hier im Editor eine Formel aufschreibe, ein bzw. mehrere Leerzeichen? Normale Leerzeichen werden nicht erkannt und in dem verlinkten Formelverzeichnis vom Editor find ichs nicht.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

abakus

17:02 Uhr, 18.10.2018

Bei Teilbarkeitsbeweisen haben Divisionszeichen bzw. Bruchstriche nichts verloren.
Die Aussage "6 teilt n" bzw. "n ist ein Vielfaches von 6" schreibt man i.A. nicht als

\frac{6}{n} \in

N, sondern in der Form

Es existiert k

\in

Z mit n=6*k .

TheOne123 aktiv_icon

17:39 Uhr, 18.10.2018

Ok, gut zu wissen. Wirklich weiterbringen tut es mich jetzt nicht, wenn ich ehrlich bin.
Ich wüsste nicht, wie ich jetzt die ganze Gleichung mit auf deine Weise aufstellen könnte.

Mein erster Ansatz den ich hatte(dachte eig. der wär schlimmer als der andere, deswegen habe ich den nicht gepostet) sieht aber ähnlich aus wie das was du geschrieben hast, jedoch komme ich auch nicht weiter, weil ich nicht weiss was ich da großartig umformen könnte.
So sieht der erste Ansatz bei mir aus:

6 n \in A \land n \in ℕ = (2 n \in B \land 3 n \in B \land n \in ℕ) \Rightarrow n \in B

Ist sicherlich auch falsch aber was besseres hab ich nicht zu bieten.

Hast du vllt eine Beispielaufgabe mit Lösung an der ich mich orientieren kann, wie ich so eine Gleichung beweise? Ich tappe hier ein bisschen im Dunkeln.

TheOne123 aktiv_icon

17:39 Uhr, 18.10.2018

*nicht beachten*

ledum aktiv_icon

19:47 Uhr, 18.10.2018

Hallo

6 n \in A

folgt

3 \cdot (2 n) \cdot \in A

2 n \in A

und

2 \cdot 3 n \in A

folgt

A \subseteq B

m \in B

heisst

m = 2 k

und

m = 3 l 3 l = 2 k

folgt

l = 2 i m = 2 \cdot 3 \cdot i m = 6 i

also

m \in A

damit

B \subseteq A

zusammen

A = B

Gruß lul

abakus

21:18 Uhr, 18.10.2018

"Ok, gut zu wissen. Wirklich weiterbringen tut es mich jetzt nicht, wenn ich ehrlich bin."

Zumindest die eine Richtung ist doch (unter konsequenter Anwendung dieser Definition) geradezu trivial.
Aus "Es existiert k ∈ Z mit n=6*k" folgt durch Zerlegung des Faktors 6 "Es existiert k ∈ Z mit n=2*3*k =2*(3*k)"
Da k eine beliebige ganze Zahl ist, ist 3*k auch eine ganze Zahl, nennen wir sie q.
Somit gilt "Es existiert q ∈ Z mit n=2*q ".
Damit ist bewiesen, dass n durch 2 teilbar ist.
Wenn du n=6k in 3*(2k) zerlegst kannst du analog zeigen, dass eine durch 6 teilbare Zahl n auch durch 3 teilbar sein muss.

TheOne123 aktiv_icon

09:03 Uhr, 19.10.2018

@abakus Jetzt hab ich verstanden was du meinst. Die Erklärung hat auf jeden Fall geholfen. Danke!

@ledum Würde es dir was ausmachen deine Lösung etwas genauer zu erläutern? Ich würde deine Lösung nämlich auch sehr gerne nachvollziehen können. Was ich bei dir in der ersten Zeile nicht verstehe ist, warum du davon ausgehst, dass

2 n \in A

. Und die zweite Zeile verstehe ich garnicht. Was Soll das

m = 3 l 3 l

bedeuten? Und wieso kann man aus den beiden Aussagen links (also

m = 2 k

und

m = 3 l 3 l = 2 k

folgern was du gefolgert hast?

ermanus aktiv_icon

10:17 Uhr, 19.10.2018

Hallo,
ledums Beitrag ist leider darstellungsmäßig etwas verunglückt.

m \in B

heißt: es gibt natürliche Zahlen

k, l

mit

m = 2 k = 3 l

.
Hieraus schließt sie nun, dass

l

durch

2

teilbar sein muss,
dass es also eine natürlich Zahl

i

gibt mit l=2i

.

Da man die Eigenschaften von Primzahlen vermutlich in dieser
Aufgabe noch nicht zur Verfügung hat, bedarf diese Aussage jedoch
einer weiteren Begründung.
Einfacher - wenn auch tricky - ist es, die tiefliegende ;-)
Aussage

m = 3 m - 2 m

fruchtbringend zu verwenden.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

10:52 Uhr, 21.10.2018

Leider hat sich der Fragesteller nicht mehr gemeldet und wollte den
Thread auch nicht abhaken.
Nur damit man hier mein "

m = 3 m - 2 m

" nicht nur für einen Witz hält:

m = 3 m - 2 m = 3 (2 k) - 2 (3 l) = 6 k - 6 l = 6 (k - l)

TheOne123 aktiv_icon

14:03 Uhr, 24.10.2018

Tut mir Leid. Ich brauch manchmal länger um zurückzuschreiben, weil ich neben Mathe auch noch einige andere Hausarbeiten zu erledigen habe. Ich geb mir in Zukunft Mühe, früher zu antworten.

TheOne123 aktiv_icon

14:03 Uhr, 24.10.2018

Ich denke aber, dass ich es nun verstanden habe. Danke für die Erklärung :-)

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