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Zeigen der 1-Norm und Maximumnorm

Universität / Fachhochschule

Tags: 1-Norm, Beweis, Manhattan-Norm, Maxmimumnorm, Norm

fogel aktiv_icon

13:16 Uhr, 14.11.2012

Meine Aufgabe ist, zu zeigen dass durch die Manhattan-Norm bzw. die Maxiumumsnorm eine Norm auf

ℝ^{n}

gegeben ist.

Ich denke ich muss zeigen dass bei beiden Normen gilt:

| | x | | \geq 0

und wenn

x = 0 \Rightarrow | | x | | = 0

| | λ x | | = | λ | \cdot | | x | |

| | x + y | | \leq | | x | | + | | y | |

Liege ich damit richtig?

Bei der Manhattan-Norm wollte ich das erste so zeigen:
wenn

x = 0

dann

{| | x | |}_{1} := \sum_{k = 1}^{n} | | x_{k} | | = 0

Wie ich dann aber den Rest beweisen soll, habe ich keine Ahnung. Muss man das dann mit Induktion machen?

Danke schonmal für eure Antworten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

14:04 Uhr, 14.11.2012

Hallo,

Induktion hilft hier nicht.

Schreib Dir doch mal linke und rechte Seite von den zu zeigenden Gleichungen bzw.. Ungleichungen für

{| | x | |}_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |

auf.

Gruß pwm

fogel aktiv_icon

14:32 Uhr, 14.11.2012

Erstmal danke für die Antwort.

Also habe ich dann stehen

{| | x | |}_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} | = | x_{1} | + | x_{2} | + ... + | x_{n} | \geq 0

Ist damit das erste schon bewiesen?

beim zweiten hab ich jetzt das hier:

{| | λ x | |}_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | λ x_{k} | = | λ x_{1} | + | λ x_{2} | + ... + | λ x_{n} | = | λ | \cdot (| x_{1} | + | x_{2} | + ... + | x_{n} |) = | λ | \cdot \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} | = | λ | \cdot {| | x | |}_{1}

und beim dritten:

{| | x + y | |}_{1} \leq {| | x | |}_{1} + {| | y | |}_{1}

\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} + y_{k} | \leq \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} | + \sum_{k = 1}^{n} | y_{k} |

\Leftrightarrow (| x_{1} + y_{1} | + | x_{2} + y_{2} | + ... + | x_{n} + y_{n} |) \leq (| x_{1} | + | y_{1} | + ... + | x_{n} | + | y_{n} |)

kann ich da dann einfach sagen dass es so bewießen ist, weil die Dreiecks-ungleichung für den Betrag sich ergibt?

pwmeyer aktiv_icon

12:56 Uhr, 17.11.2012

Hallo,

im Prinzip ist das richtig, man kann es vielleicht so etwas klarer darstellen:

Mit der Dreiecksungleichung für den Betrag reeller Zahlen gilt:

{| | x + y | |}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} + y_{i} | \leq \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | + | y_{i} | = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | + \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} | = {| | x | |}_{1} + {| | y | |}_{1}

Gruß pwm

fogel aktiv_icon

17:26 Uhr, 17.11.2012

Danke für die Antwort! :-)

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