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Zusammgenhänender metrischer Raum ist unendlich
Universität / Fachhochschule
Tags: Beweis, metrischer Raum, überabzählbar, unendlich, zusammenhängend
 
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Hallo, folgendes ist zu Beweisen: ein zusammenhängender metrischer Raum, der mehr als einen Punkt besitzt, ist weder endlich noch abzählbar. Unsere Definition von zusammenhängend: Es existieren keine offenen Mengen sei eine Menge) mit folgenden Eigenscahften: Ob direkt oder indirekt, ich kanns mir größtenteils vorstellen, das es so ist: Besteht der Raum aus mehr als zwei Punkten und ist zusammenhängend, so gibt es natürlich unendlich viele Punkte zwischen den (mind.) 2 gegebenen Punkten und man kann sie nicht abzählen so wie die reellen Zahlen. Doch wie kann man das mathematisch korrekt beweisen? Grüße Helmsen |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Seien zwei verschiedene Punkte (die es ja nach Voraussetzung gibt). Dann ist eine positive reelle Zahl. Für jede Zahl mit ist der offene t-Ball um eine nichtleere offene Menge und das Komplement des abgeschlossenen t-Balls um eine hierzu disjunkte nichtleere (sie enthält ja offene Menge. Da zusammenhängend ist, gibt es einen Punkt, der in keiner der beiden offenen Mengen ist, der also genau Abstand von hat. |
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Im späten Nachhinein vielen Dank! Mit deinem Ansatz ist es mir gelungen die Aufgabe zu lösen. |
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