Abbildungen und Mengen

Also, ich habe folgende Augabe gestellt bekommen:

Seien X und Y Mengen, A und A' Teilmengen von X. B und B' sind Teilmengen von Y sowie f: X ${\displaystyle \to }$Y eine Abbildung. Beweise die folgeden Beziehungen, zeige ggf. auch, dass Gleichheit nicht gilt.

(a) f [A${\displaystyle \cup }$A'] = f [A]${\displaystyle \cup }$f [A']

(b) f [A${\displaystyle \cap }$A'] ${\displaystyle \subseteq }$ f [A]${\displaystyle \cap }$f [A']

(c) Welche Inklusionen bestehen zwischen den Mengen:

    (1) A und f ${\displaystyle \leftarrow }$[f [A]]?

    (2) B und f [f ${\displaystyle \leftarrow }$[B]]?

Hinweis: ${\displaystyle \leftarrow }$soll hier oben stehen, bei uns heißt das dann z.B. f ${\displaystyle \leftarrow }$[B]] ist Urbild von B.

So lautet also die Aufgabe. 

Wir haben Tipps vom Gruppenleiter bekommen, was mir persönlich kein Stück bringt.

zu a) Wir könnten eine Fallunterscheidung machen nach der Methode "Wo liegt A?"

zu b) Es scheint, als wenn die Gleichheit hier nicht gilt, denn wir sollen ein Gegenbeispiel angeben, was ja nur bei Ungleichheit sinnvoll ist.

zu c) Hier sollen wir ausprobieren, was auch immer.

Ich weiß nicht einmal, warum er uns X und Y in der Aufgabe genannt hat, schließlich brauchen wir diese laut a), b) und c) gar nicht...

Hat jemand eine Idee, wo man bei den Aufgaben ansetzen könnte?

Also mit linke und rechte Menge meinst du wohl die Angaben vor und hinter dem Gleichzeichen bei a)

Wenn ich das richtig verstanden habe, hast du nun gezeigt, dass in der linken Menge f(A) vereinigt f(A') vereinigt.

Also quasi "Wenn es ein x gibt, dass in der linken Menge liegt, ist es auch in der rechten Menge", oder?

Aber bei der rechten Menge komm ich nicht mehr mit, was hast du da mit dem y nun gezeigt?

Okay, so verstehe ich das! :D

Bei b) geht es dementsprechend ja um den Durchschnitt. Außerdem soll dort die linke Menge ja nur Teilmenge der rechten Menge sein.

Wie wende ich dort ein Gegenbeispiel an, um zu zeigen, dass es nicht der Fall ist?

Zu ba)

Du nimmst also ein y aus L und prüfst, ob es auch aus R ist.

y ist demnach ein Funktionswert von einem x, also f(x)=y. Da das x aus A oder A' kommt, also aus L, kommt ist y logscherweise aus L. Wie kommst du aber auf den Schluss, dass es auch aus R ist?

Zu bb)

Vorher wurde festgelegt: f(x) = x^2 mit A = [-1;0] und A' = [0;1]

Wie genau kommst du dann hierzu:

f(A) = [0;1] = f(A') = R

Hast du in x^2 einfach -1, 0 und 1 eingesetzt und dann 0;1 herausbekommen? 

Demnach wären L = {0} eine Teilmenge von R = {0, 1}, also doch wahr?

Bei c) frage ich mich vor allem, was dieses "f im f" bedeuten soll. Ist das eine Funktion innerhalt einer Funktion? Und was bewirkt der Pfeil da innen drin?

Gut, ba) hab ich nun raus.

Zu bb) 

Wir haben noch keine Darstellungen mit Graphen gehabt und die sind deswegen auch nicht Teil der Lösung.

Aber durch bb) ist demnach zusammen mit ba) bewiesen, dass Aufgabe b) stimmt. 

Also Elemente x, die ich aus A und A' wähle, kann ich auch auf y setzen.

Dass f[0;1] auf alle [0;1] trifft ist nach der Funktion ja nur logisch.

Also bei c1) bestehen die gleichen Inklusionen wie bei b). Es ist zwar eine Teilmenge, aber die Mengen sind nicht identisch!

c2) hab ich grad mit nem Freund über ICQ noch gelöst, wir kamen auf das Ergebnis, dass es Teilmengen UND auch identlisch sind. 

Auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfe, sehr nett! :D