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(absolute) Konvergenz und Grenzwerte bei Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: 2.Fachsemester, Analysis, Folgen und Reihen, Grenzwert

VA!13 aktiv_icon

17:01 Uhr, 07.12.2014

Hallo
Ich muss die Konvergenz von ein paar Reihen prüfen und ggf. den Grenzwert bestimmen. Allerdings tue ich mich ein bisschen schwer damit.
alles steht natürlich in einer Summe:

1)

n^2/Wurzel(n^6+k) (Hier geht die Summe von

k = 0

bis

n)

2)

Wurzel(k+1) - Wurzel(k) (hier geht die Summe von

k = 0

bis unendlich)

3)

(besteht aus einer Doppelsumme)

\frac{1}{k^{2} + l^{2}}

(hier geht die erste Summe von

k = 0

bis unendlich und die zweite von

l = 1

bis unendlich)
Wäre gut, wenn ich wenigstens wüsste wie ich anfangen sollte.
Danke schon mal für eure Hilfe!

Ich wusste leider nicht, wie man das Summenzeichen hier macht, ich hoffe man kann trotzdem verstehen wie es gemeint ist

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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anonymous

17:27 Uhr, 07.12.2014

Damit wir es verstehen können, schreibe ich die Reihen mal in einer Schreibweise, die ich aus deinen Angaben zu erahnen wage:

1)

\sum_{k = 0}^{n} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{6} + k}}

2)

\sum_{k = 0}^{\infty} \sqrt{k + 1} - \sqrt{k}

3)

\sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{l = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2} + l^{2}}

Die

2)

ist ganz einfach. Wenn du mal die ersten

10

Summanden zu Papier bringst, dann fällt es dir wie Schuppen von den Augen...

VA!13 aktiv_icon

17:36 Uhr, 07.12.2014

Erstmal danke für die richtige Schreibweise, stimmt alles so.

Und bei der

2)

müsste das ganze dann gegen 0 laufen oder nicht, da sich ja die Wurzeln immer gegenseitig aufheben, oder gegen Wurzel(K+1), da war ich mir jetzt nicht so sicher ?

anonymous

18:08 Uhr, 07.12.2014

2)

\sum_{k = 0}^{\infty} \sqrt{k + 1} - \sqrt{k}

= \sum_{k = 0}^{\infty} [\sqrt{k + 1}] - \sum_{k = 0}^{\infty} \sqrt{k}

Substitution:

(k + 1) = m

= \sum_{m = 1}^{\infty} [\sqrt{m}] - \sum_{k = 0}^{\infty} \sqrt{k}

= \sum_{m = 1}^{\infty} [\sqrt{m}] - \sqrt{0} - \sum_{k = 1}^{\infty} \sqrt{k}

= \sum_{m = 1}^{\infty} [\sqrt{m}] - \sum_{k = 1}^{\infty} \sqrt{k}

= Sack Kartoffeln - Sack Kartoffeln

= 0

Shipwater aktiv_icon

18:16 Uhr, 07.12.2014

Falsch.

\sum_{k = 0}^{n} (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) = \sqrt{n + 1}

(Teleskopsumme) und das konvergiert nicht für

n \to \infty

.
Also ist

\sum_{k = 0}^{\infty} (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k})

divergent.

anonymous

18:24 Uhr, 07.12.2014

Hallo nochmals.
zu

2)

Ich muss schon zugeben, dass ich auch erst stutzig war, und ob meines Lösungsvorschlags unsicher bin.
Ich kann beide "Lösungswege" nachvollziehen, oder genauer gesagt, da es mathematisch nur eine Lösung geben kann, muss im Herleitungsweg des anderen ein Fehler liegen. Deshalb hatte ich in meinem Weg ja auch sehr vorsichtig Schritt für Schritt argumentiert, und kann bis jetzt noch keinen Fehler darin entdecken.
Kannst du mir sagen, was an meiner Argumentation falsch sein könnte?

Shipwater aktiv_icon

18:26 Uhr, 07.12.2014

Schon der erste Schritt ist nicht haltbar. Denn

\sum_{k = 0}^{\infty} \sqrt{k + 1}

und

\sum_{k = 0}^{\infty} \sqrt{k}

konvergieren nicht.

anonymous

18:30 Uhr, 07.12.2014

Da triffst du mich auf einem wunden Punkt.
Ist Konvergenz eine Voraussetzung um Summen aufteilen zu können?
Also

\sum (a + b) = [\sum a] + [\sum b]

Shipwater aktiv_icon

18:42 Uhr, 07.12.2014

Ja das ist eine wichtige Voraussetzung. Wenn man das ausweiten will, muss man definieren wie man mit

\infty

rechnet.

\infty + \infty := \infty

und

- \infty + (- \infty) := - \infty

dann kann man damit zeigen, dass

\sum_{n \in ℕ} (a_{n} + b_{n}) = \sum_{n \in ℕ} a_{n} + \sum_{n \in ℕ} b_{n}

auch gilt falls

\sum_{n \in ℕ} a_{n} = \sum_{n \in ℕ} b_{n} = \infty

oder

\sum_{n \in ℕ} a_{n} = \sum_{n \in ℕ} b_{n} = - \infty

Problematisch wird es wenn

\sum_{n \in ℕ} a_{n} = \infty

und

\sum_{n \in ℕ} b_{n} = - \infty

denn

\infty - \infty

kann man (hier) nicht sinnvoll definieren. Die Summe

c_{n} + d_{n}

kann eben so gut wie alles machen, wenn

c_{n} \to \infty

und

d_{n} \to - \infty

Beispiele:

c_{n} = n, d_{n} = - n

dann

c_{n} + d_{n} \to 0

c_{n} = n^{2}, d_{n} = - n

dann

c_{n} + d_{n} \to \infty

c_{n} = n, d_{n} = - n^{2}

dann

c_{n} + d_{n} \to - \infty

c_{n} = π + n, d_{n} = - n

dann

c_{n} + d_{n} \to π

c_{n} = n + {(- 1)}^{n}, d_{n} = - n

dann

c_{n} + d_{n} = {(- 1)}^{n}

unbestimmt divergent

anonymous

18:56 Uhr, 07.12.2014

Danke für die Ausführungen.
Man lernt nie aus...

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