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alternierende Fakultätsreihen auf abs. Konvergenz

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Tags: Eigenwert, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Komplexe Zahlen, Vektorraum

Sonnenlord aktiv_icon

10:55 Uhr, 27.05.2018

einen wunderschönen guten Morgen.
ich hoffe, dass ich euch an diesem Sonntag nicht allzu sehr störe :-)

Ich habe Probleme bei folgenden Aufgabe

Entscheiden Sie, ob die Reihe konvergent, absolut konvergent oder divergent ist.

(a)

\sum_{n = 1}^{\infty} ln (n)

(b)

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n^{2}})

(c)

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}

(d)

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{(n + 1)!}{\sqrt{(2 n)!}}

Ich habe bei diesen Reihen grpße Probleme, da ich mit dem Leibnizkriterium an vielen Stellen nicht weiter komme.

Ich poste kurz meine Ansätze:

Zu

a)

Bei der

a)

habe ich leider keinen Ansatz gefunden gefunden.... Das mit dem

ln (n)

verwirrt mich. Könnte man da nicht mit dem Quotientenkriterium überprüfen? Denn damit lässt sich die absolute Konvergenz beweisen und automatisch dann auch die allgemeine Konvergenz.

zu

b)

Die

b)

sieht stark nach Leibnizkriterium aus. Also habe ich es benutzt:

Gegeben: (b)

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n^{2}})

Beweis:

1. Schritt: Prüfen, ob die Folge

(a_{n})

ein reelle Nullfolge ist

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n^{2}}) = lim_{n \to \infty} 1 = 1

Da der Limes der Folge 1 ist, konvergiert die alternierende Reihe nicht.
Aber es kann sein, dass die Reihe vielleicht absolut konvergiert.

Wie kann ich das dann zeigen? Mit dem Quotientenkriterium? Falls ja, wie genau? Denn mit dem Quotientenkriterium muss ich die

{(- 1)}^{n}

auch miteinbeziehen oder etwa nicht?

Zu

c)

Gegeben:

(c)

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}

Beweis:

1. Schritt: Prüfen, ob die Folge

(a_{n})

ein reelle Nullfolge ist

Naja, ich sehe, dass

\frac{1}{\sqrt{n}}

eine Nullfolge ist, da die Wurzel für größere

n

auch größer wird. Aber wie kann ich das am besten zeigen?

ich habe es durch das Epsilon-Kriterium versucht:

| a_{n} - a | = | \frac{1}{\sqrt{n}} - 0 | = | \frac{1}{\sqrt{n}} | = \frac{1}{\sqrt{n}} < ε

\Rightarrow n > {(\frac{1}{ε})}^{2}

Simit habe ich ein

n

gefunden.

Kann man das so machen? oder sollte ich noch zeigen, wie ich den Grenzwert 0 bestimme? Weil formal bestimmen kann ich das nicht, ich sehe es halt nur...

2. Schritt: Auf fallende Monotonie überprüfen

Naja, es klar, dass

\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}

ist.

Da weiß ich auch nicht, was es da zu beweisen gibt...

Zu

d)

Gegeben:

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{(n + 1)!}{\sqrt{(2 n)!}}

Beweis:

1. Schriit: Prüfen, ob

a_{n}

eine reelle Nullfolge ist

lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)!}{\sqrt{(2 n)!}} = \frac{(n + 1) \cdot n!}{\sqrt{2 n}}

Hier verzweifle ich auch langsam... Diesen Ausdruck kann ich nicht so umformen, dass am Ende ersichtlich wird, dass es sich um eine Nullfolge handelt...

Kann mir jemand helfen bzw. zeigen, wie man die Reihen richtig auf Konvegenz, absolute Konvergenz oder Divergenz überprüft? Ich hocke seit

3 \frac{1}{2}

Stunden an diesen 4 Reihen und komme einfach nicht auf die Lösung...

Ich bedanke mich für eure Hilfe.

mfg
Till

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
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Respon

11:08 Uhr, 27.05.2018

a)

Nullfolgenkriterium ( Trivialkriterium )

michaL aktiv_icon

11:09 Uhr, 27.05.2018

Hallo,

also, bei a) hilft das Leibnizkriterium überhaupt nicht weiter, da die Reihe fast nur positive Glieder hat.
Das Quotientenkriterium dürfte hier auch sperrig werden.
Versuche das Trivialkriterium!

Bei b) hilft dir Leibniz leider nicht weiter. Die Konvergenzfrage ist mir im Moment auch nicht klar. Absolute Konvergenz kann wieder wegen Trivialkriterium nicht vorliegen.

Bei c) hilft dir das Leibnizkriterium weiter, um die Konvergenz zu beweisen. Dass die Reihe nicht absolut konvergiert, ist oft ein Kriterium der Vorlesung, das besagt, dass Reihen

\sum n^{α}

genau für

α < - 1

konvergieren, was hier nicht gegeben ist.

Die letzte Reihe dürfte wohl auch absolut konvergieren, wofür eine geeignete Majorante für

n \geq 4

helfen dürfte.
Wir hatten vor ein paar Wochen in diesem Forum mehrfach Nachfragen nach der gleichen Abschätzung mit Fakultäten. Vielleicht finde ich die noch.

Soweit erst einmal.

Mfg Michael

Roman-22

11:22 Uhr, 27.05.2018

@Michal

>

Bei

b)

hilft dir Leibniz leider nicht weiter. Die Konvergenzfrage ist mir im Moment auch nicht klar. Absolute Konvergenz kann wieder wegen Trivialkriterium nicht vorliegen.

Das Nullfolgenkriterium ist doch unabhängig davon, ob die Reihe alternierend ist oder nicht.

b)

ist daher auf jeden Fall divergent.

@Sonnenlord
Ich denke, dass du

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0

"sehen" darfst, ohne es ausführlicher begründen/beweisen zu müssen.

michaL aktiv_icon

11:24 Uhr, 27.05.2018

Hallo,

danke. Ich bin gerade auch da angekommen, da wird deine Antwort eingeblendet.

Mfg Michael

Roman-22

11:37 Uhr, 27.05.2018

Bei

d)

sollte eigentlich das Quotientenkriterium rasch zum Ziel führen

(lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{1}{2})

EDIT: Vertauschte Zähler und Nenner korrigiert. Danke an Rspon für den Hinweis!

Thisnu aktiv_icon

12:33 Uhr, 27.05.2018

Danke für eure schnelle Antwort, @Respon, @Michal, @Roman-22 !

Zu

a)

Das Problem bei der

a)

ist, dass ich mit dem

ln (n)

in dieser Form so nicht viel anzufangen weiß... Also konkret: Wie zeige ich mit dem Trivialkriterium, dass

ln (n)

eine Nullfolge bzw. keine Nullfolge ist?

Weil ich weiß nicht genau, wie ich

ln (n)

weiter umformen kann...

zu

b)

das heißt also, dass das Leibnizkriterium hier nicht helfen kann?
Aber wie kann man das sonst noch beweisen, ob konvergiert, abs. konvergiert oder divergiert?

Tut mir leid, wenn es vielleicht doofe Fragen sind. Mein Wissen über das Thema ist leider noch wenig.

zu

c)

Aha! das heißt also, dass folgender Beweis reicht?

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}

1. Überprüfen, ob

\frac{1}{\sqrt{n}}

eine reelle Nullfolge ist

Da für

\frac{1}{\sqrt{n}}

der Nenner für immer größer werdende

n

auch immer größer wird, konvergiert die Folge

(a_{n}) = \frac{1}{\sqrt{n}}

gegen 0.

Beweis durch Epsilon-Kriterium:

| a_{n} - a | = | \frac{1}{\sqrt{n}} - 0 | = | \frac{1}{\sqrt{n}} | = \frac{1}{\sqrt{n}} < ε

\Rightarrow n > {(\frac{1}{ε})}^{2}

2. 2. Schritt: Auf fallende Monotonie überprüfen

Es gilt offensichtlich

\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}},

da bei

\frac{1}{\sqrt{n + 1}}

der Term unter den Wurzel um 1 größer ist, als bei

\frac{1}{\sqrt{n}}

. Da bei

\frac{1}{\sqrt{n + 1}}

der Term unter der Wurzel größer ist, ist auch die Wurzel davon größer und die Folge

\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}

.

Somit konvergiert die Folge.

Reicht das als Beweis?

Aber, ob sie noch abs. konvergiert, weiß ich nicht.
@michaL , danke für deinen Tipp! Aber ich weiß nicht, wie man das Kriterium für die Reihe benutzt, um nachzuweisen, dass die Reihe zusätzlich auch noch absolut konvergiert...
kannst du mir da helfen...?

zu

d)

@Roman-22

Wir haben in der Vorlesung das Quotientenkriterium mit

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

. Also genau umgekehrt, deswegen bin ich ein wenig verwirrt...

Wenn ich das so rechne, wie ich das in der Vorlesung hatte, dann kommt folgendes heraus

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = | \frac{\frac{((n + 1) + 1)!}{\sqrt{(2 (2 n + 2))}!}}{\frac{(n + 1)!}{\sqrt{(2 n)!}}} | = \frac{((n + 1) + 1)!}{\sqrt{((2 n + 2))}!} \cdot \frac{\sqrt{(2 n)!}}{(n + 1)!} = \frac{(n + 2)!}{\sqrt{((2 n + 2))}!} \cdot \frac{\sqrt{(2 n)!}}{(n + 1)!}

= \frac{(n + 2)! \cdot \sqrt{(2 n)!}}{(\sqrt{((2 n + 2))}!) \cdot ((n + 1)!)}

= \frac{(n + 2) \cdot (n + 1)! \cdot \sqrt{(2 n)!}}{\sqrt{(2 n + 2) \cdot (2 n + 1) \cdot (2 n)!} \cdot ((n + 1)!)}

= \frac{(n + 2) \cdot \sqrt{(2 n)!}}{\sqrt{(2 n + 2) \cdot (2 n + 1)} \cdot \sqrt{(2 n)!}} = \frac{(n + 2)}{\sqrt{(2 n + 2) \cdot (2 n + 1)}}

Da komme ich leider nicht auf

\frac{1}{2} ... .

.
Ich weiß echt nicht mehr weiter

Wie kann man das sonst noch beweisen?
Und warum hast du das Quotientenkriterium in Betracht gezogen? Muss man die

{(- 1)}^{n}

nicht einbeziehen?

Lg
Tim

Ah, ich habe deine korrigierte Antwort jetzt auch gesehen :-) Aber ich komme auf das obige Ergebnis

: (

ermanus aktiv_icon

12:37 Uhr, 27.05.2018

Hallo,
noch eine kleine Bemerkung zur absoluten Konvergenz in c)

\sum \frac{1}{n}

ist eine divergente Minorante zu

\sum \frac{1}{\sqrt{n}}

michaL aktiv_icon

13:44 Uhr, 27.05.2018

Hallo,

ich habe nach dem Eintrag gesucht und gefunden: www.onlinemathe.de/forum/2n-n2-2n-beweisen
Damit kannst du eine konvergente Majorante finden, welche auch einfach als konvergent identifiziert werden kann (etwa Wurzelkriterium).

Mfg Michael

Roman-22

13:45 Uhr, 27.05.2018

Wer fragt denn da nun wirklich? Sonnenlord oder Thisnu?

>

Wie zeige ich mit dem Trivialkriterium, dass

ln (n)

eine Nullfolge bzw. keine Nullfolge ist?
Ich denke, dass du als bekannt voraussetzen darfst, dass

ln (x)

monoton steigend ist.

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